数学における部族またはσ代数
$$ {\mathcal B} $$
集合Ω上の、可算和集合によって安定したΩの部分の集合です。 σ代数の概念は、単に有限結合によって安定性を課すブール代数の概念よりも強力です。トライブは主にΩの測定値を定義するために使用されます。この概念は 確率分析と理論において重要です。意味
どちらか
$$ {\Omega \,} $$
セット。私たちは部族(または σ-代数) と呼びます。 $$ {\Omega \,} $$
セット$$ {\mathcal B} $$
の部分の$$ {\Omega \,} $$
以下をチェックします:- 空集合は入っています$$ {\mathcal B} $$
- $$ {\mathcal B} $$相補的に安定している
- $$ {\mathcal B} $$可算和集合により安定です
正式には:
- $$ {\empty \in \mathcal B} $$
- $$ {\forall A \in \mathcal B ,} $$$$ {{}^c A \in \mathcal B} $$
- もし$$ {\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal B} $$それで$$ {\bigcup_{n\in\mathbb{N} } A_n \in \mathcal B} $$
カップル
$$ {\left(\Omega, \mathcal B\right)} $$
は、文脈に応じて可測空間または確率空間と呼ばれます。測定の概念は測定可能空間内で定義され、確率の概念は確率可能空間内で定義されます。
プロパティ
- $$ {\Omega \in \mathcal B} $$(1と2による)
- トライブは可算交差演算でも安定しています (2 と 3 による)。
もし$$ {\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal B} $$それで$$ {\bigcap_{n\in\mathbb{N} } A_n \in \mathcal B} $$ - もし$$ {\left(\mathcal B_a\right)_a} $$がΩ上の部族の家族である場合、$$ {\bigcap_a \mathcal B_a} $$Ωの部族でもあります。
例
- trivial trivial (離散とも呼ばれます): $$ {\mathcal B = \mathcal P(\Omega)} $$
- 失礼な部族: $$ {\mathcal B = \{ \empty, \Omega \}} $$
包括性という意味では、些細な部族は可能な限り最大であり、粗野な部族は可能な限り小さいです。
部族が誕生しました
U がΩの部分の任意の集合である場合、 U を含む (包含という意味で) より小さなトライブが存在し、 σ( U ) で示され、 U によって生成されたトライブと呼ばれます。
まず、 Ω上にU を含むトライブ ( Ω上の離散トライブ) が存在することに注目してください。 Φ を、 U を含むΩ上のすべての部族の集合とします (これは、部族が
$$ {\mathcal B} $$
Uが次の部分集合である場合に限り、 Ωは Φ に属します。 $$ {\mathcal B} $$
）。次に、σ( U ) を Φ のすべての部族の共通部分であると定義します。 σ( U ) は、 U を含むΩ上の最小の部族です。その要素は、交差、可算和集合、または相補的な超限への通過の演算を使用してUの要素から取得できるすべてのセットです。例:
- $$ {\sigma (\{\empty \} ) = \{ \empty, \Omega \}} $$
- どちらか$$ {A \in \mathcal P(\Omega), A \ne \Omega} $$そして$$ {A \ne \empty} $$、 それで$$ {\sigma (\{A\}) = \{ \empty, \Omega, A, {}^c A \}} $$
- どちらか$$ {\mathcal L = \{ \{\omega\} , \omega \in \Omega \}} $$宇宙のすべてのシングルトン$$ {\Omega \,} $$。我々は持っています$$ {\sigma (\mathcal L) = \{ A \in \mathcal P(\Omega), A} $$または$$ {{}^c A \,} $$数えられる$$ {\} \,} $$
ボレリア族
これは、最も重要な例につながります。任意の位相空間上のボレル族です。これは、ボレル族と呼ばれる、開集合 (または同等の閉集合) によって生成される族です。一般に、この部族はすべての部分の集合ではないことに注意してください。たとえば、 R nのボレリアン部族は連続体のパワーを持っていますが、 P( R n ) は厳密にそれよりも高いパワーを持っています。
ユークリッド空間について
$$ {\mathbb R^n} $$
、もう 1 つの重要な部族、ルベーグ可測集合の部族です。この部族には、Borel 部族よりも「多くの」セットが含まれています。 $$ {\mathbb R^n} $$
統合理論で好まれています。また、すべての部分が含まれているわけではありません。 $$ {\mathbb R^n} $$
、しかしカーディナリティの議論はもはや十分ではありません。 「測定不可能な集合」を参照してください。