導入
ゴンペルツ モデル (ゴンペルツ・マケハム死亡法則) では、死亡率は年齢に依存しない項 (マケハム項) と年齢に依存する項 (ゴンペルツ関数) の合計であると述べられています。
このモデルは、年齢の線形増加に比例して生物の数が指数関数的に減少することも示唆しています。
歴史
人口科学の数学化は 19世紀に進み、特にベンジャミン ゴンペルツによって確立された死亡の法則のおかげでした。しかし、人口増加が鈍化するというピエール・フランソワ・ヴェルユルストの物流法のおかげでもある。
実際、1825 年にベンジャミン ゴンペルツは、死亡率は年齢とともに指数関数的に増加すると次のように提案しました。
μ x = B c xここで、 Bとc は定数です。
しかし、年齢に直接関係しない死因を考慮する際に問題が生じます。
これは、ウィリアム・メイクハムが、年齢に関係なく死因を考慮した修正ゴンペルツ則に基づいて、高齢時の死亡率を推定することを提案している方法です。
μ x = A + B c xここで、 A は年齢に関係なく、あらゆる原因で死亡するリスクです。
外的死因がまれな状況では、年齢に依存しない用語は無視できることがよくあります。次に、1825 年にベンジャミン ゴンペルツによって考案されたゴンペルツの法則について話します。
このモデルは、特定の（ヒト以外の）種の死亡率を適切に予測したり、異なる種間での保険数理上の老化率を比較したりするために、人口学や老年学で広く使用されています。
これは、高等生物の特定の形態学的変数 (サイズ、体重など) の成長をよく表しています (年齢の関数としてのマスクラットの体重の成長に関する応用例を参照してください)。
応用例のいくつか
- 微生物の増殖段階を記述するための微生物化学および食品への応用 (ISBN 978-2-84444-558-2 を参照)
- 成長予測モデルへの応用
マスクラットの成長モデリング
ゴンペルツ モデルは、マスクラットの体重の増加や年齢の関数としてのサイズをよく表しています。
x 0 = 16、 a = 0.036、 K = 760を使用してゴンペルツ モデルを体重データに当てはめます。
したがって、方程式は次のように書かれます
a=0.036 K=760 x0=16 t=seq(0, 200, by =1) x = K*exp(log(x0/K) * exp(-a*t)) #data age=c(0, 21,29,35,44,50,55,62,69,76,83,90,97,104,110,117,124,132,138,146,152,180,187,194,201) 質量=c(16,116,175,264,352,416,447,503,540) ,540,603,646,684,688,695,712,739,728,747,733,738,763,757,765,767) #graphics プロット(年齢,質量,type="p",pch=20, Col= "red",main="年齢別体重",ylab="体重(グラム)",xlab="年齢(日)") Lines(t,x, type="l", pch= 1) legend(70,200,c("実数値","ゴンペルツモデル調整"),lty=c(0,1),pch=c(20,1),col=c("赤","黒") )腫瘍増殖のモデリング
ゴンペルツ曲線は、腫瘍増殖データの適合に使用されます。実際、腫瘍は、利用可能な栄養素が限られた限られた空間にある細胞の集団です。腫瘍サイズ X(t) に注目して、ゴンペルツ曲線を次のように書くと便利です。
X(0) はベースライン観察時の腫瘍のサイズです。 K は、利用可能な栄養素で到達できる最大サイズ、つまり腫瘍細胞の漸近集団です。