継続的統一法について詳しく解説

導入

ユニフォーム
設定	$$ {a,b \in (-\infty,\infty) \,\!} $$
サポート	$$ {a \le x \le b \,\!} $$
確率密度(質量関数)
分布関数	$$ { \begin{matrix} 0 & \mbox{pour }x < a \\ \frac{x-a}{b-a} & ~~~~~ \mbox{pour }a \le x < b \\ 1 & \mbox{pour }x \ge b \end{matrix} \,\!} $$
希望	$$ {\frac{a+b}{2} \,\!} $$
中央値（中央）	$$ {\frac{a+b}{2} \,\!} $$
ファッション	の任意の値 $$ {[a,b] \,\!} $$
分散	$$ {\frac{(b-a)^2}{12} \,\!} $$
非対称性（統計）	$$ {0 \,\!} $$
尖度 (標準化されていない)	$$ {\frac{9}{5} \,\!} $$
エントロピ	$$ {\ln(b-a) \,\!} $$
モーメント発生機能	$$ {\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\!} $$
特徴的な機能	$$ {\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)} \,\!} $$

確率理論と統計において、連続一様法則は、サポートの同じ長さのすべての区間が同じ確率を持つような確率法則のファミリーです。

連続一様則は、確率密度関数の形状により、長方形関数を一般化したものです。一様確率変数が取り得る最小値と最大値aとbによってパラメータ化されます。この連続法則は、 U ( a , b ) で表されることがよくあります。

特性評価

密度

確率密度は次のとおりです。

$$ { f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b – a} & \ \ \ \mbox{pour }a \leq x \leq b, \\ \\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{matrix}\right. } $$

分布関数

分布関数は次のように与えられます。

$$ { F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }x < a \\ \\ \frac{x-a}{b-a} & \ \ \ \mbox{pour }a \le x < b \\ \\ 1 & \mbox{pour }x \ge b \end{matrix}\right. \,\!} $$

関数の生成

モーメント発生機能

モーメント母関数は

$$ { M_x = E[e^{tx}] = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)} \,\! } $$

これにより、すべての非中心モーメントm _{k を}計算できます。

$$ {m_1=\frac{a+b}{2}, \,\!} $$

$$ {m_2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}, \,\!} $$

$$ {m_k=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^ib^{k-i}. \,\!} $$

したがって、この法則に従う確率変数の場合、期待値はm ₁ = ( a + b )/2、分散はm ₂ − m ₁ ² = ( b − a ) ² /12 となります。

キュムラントの生成関数

n ≥ 2 の場合、区間 [0, 1] の一様則のn番目のキュムラントはb _n / nです。ここで、 b _nはn番目のベルヌーイ数です。

標準制服法

特殊なケースa = 0およびb = 1は、 U (0,1) とも呼ばれる標準均一法則を生じさせます。次の事実に注意してください。u _{1 が}標準的な統一則に従って分布する場合、これは u ₂ = 1-u ₁にも当てはまります。

プロパティ

ボレリアの部族への一般化

均一の法則は、間隔よりも複雑なセットに一般化されます。 S が非ゼロ有限測度のボレルである場合、 Sの一様則は、 Sの外部のゼロ密度とS上の定数 1/ Kに等しいを定義することによって指定されます。 ここで、 KはSのルベーグ測度です。

注文統計

X ₁ , …, X _{n を}法則U (0,1) からの iidサンプルとする。 X _{( k ) を}サンプルのk次統計量とします。この場合、 X _{( k )}の分布は、パラメーターkおよびn − k + 1 を持つベータ法則になります。期待値は次のようになります。

$$ {\operatorname{E}[X_{(k)}] = {k \over n+1}.} $$

この事実は、ヘンリー ラインを構築するときに役立ちます。

差異は次のとおりです。

$$ {\operatorname{Var}(X_{(k)}) = {k (n-k+1) \over (n+1)^2 (n+2)} .} $$

ユニフォームの外観

一様変数が所定の区間に入る確率は、この区間の位置には依存しませんが、この区間が法則の裏付けに含まれている場合には、その長さにのみ依存します。したがって、 X ≈ U( 0 , b ) であり、 [ x , x + d ] が [ 0 , b ] の部分区間であり、 d > 0 が固定されている場合、次のようになります。

これはxから独立しています。この事実がこの法律の名前の動機となっています。

アプリケーション

統計学では、単純帰無仮説の統計検定手順でp値が使用され、検定分布が連続的である場合、p 値は [0 ;1] の一様法則に従って一様に分布します。という仮説が検証されます。

統一法上の実績を得る

ほとんどのプログラミング言語は疑似乱数生成器を提供しており、その分布は事実上標準の統一法則となっています。

uがU (0;1) の場合、 v = a + ( b − a ) u はU ( a ; b ) の法則に従います。

継続的な法則から成果を得る

上で引用した定理によれば、一様法則により、理論上は任意の連続密度法則の図を取得できます。これを行うには、この法則の分布関数を逆にして、それを標準の統一法則からの図面に適用するだけです。残念ながら、実際の多くの場合、分布関数の分析式は存在しません。その後、数値逆変換 (計算コストがかかる) や、拒否法などの競合する方法を使用できます。

逆変換法の失敗の最も重要な例は、正規則です。しかし、ボックス・ミュラー法は、均一なサンプルを正確に正常なサンプルに変換するための実用的な方法を提供します。