フェルマー数 – 定義

導入

ピエール・ド・フェルマーは、現在彼の名前が付けられている数字の性質を研究しています。

フェルマー数は、n が整数の 2 ^{2 n} + 1 の形式で記述できる自然数です。 ^{n 番目の}フェルマー数2 ^{2 n} + 1 はF _nで表されます。

これらの数の名前は、これらすべての数が素数であると推測したフランスの数学者ピエール ド フェルマー(1601-1665) に由来しています。この予想は誤りであることが判明し、 F ₅は複合であり、 F ₃₂までのすべてのフェルマー数も同様でした。 F ₃₃以降の数値が素数なのか合成なのかは不明です。したがって、既知の素数フェルマー数はF ₀ 、 F ₁ 、 F ₂ 、 F _{3 、}およびF ₄だけです。

これらの数値には興味深い特性があり、一般にモジュラー演算から得られます。特に、カール・フリードリッヒ・ガウスは、これらの数値と、定規とコンパスを使った正多角形の構築との間に関連性を確立しました。n 辺を持つ正多角形は、 n が2の累乗である場合に限り、定規とコンパスを使って構築できます。 2 のべき乗と個別の素数フェルマー数の積。

歴史

1640 年、ベルナール フレニクル ド ベッシーに宛てた手紙の中で、ピエール ド フェルマーは次のように述べ、おそらく彼の小さな定理を実証しました。時間がかかりすぎることを恐れなければ、そのデモンストレーションをお送りしたいと思います。この定理により、彼は現在彼の名前が付けられている数字を研究することができます。この同じ手紙の中で、彼は「…私はまだこの命題の真実性を必ずしも証明することができていない」という証明を見つけることができずに、これらの数はすべて素数であると推測しています。この仮説に魅了された彼は、その 2か月後、マリン メルセンヌに宛てた手紙の中で次のように書いています。この件に関して私はとても美しいものを見つけるだろうと私には思います。私はすでに素晴らしいものを見つけているので、それを皆さんと共有したいと思います。彼はまた、ブレーズ・パスカルに次のように書き送った。「もし私がこの問題を自分で解決できたなら、あなたにこの問題に取り組むよう頼まないでしょう。」 1658 年 6 月 16 日にディグビーがウォリスに送った日付は記載されていないが、K. ディグビーに宛てた手紙の中で、フェルマーは依然として自分の推測が証明されていないと述べている。しかし、1659年にカラカビに宛てた手紙の中で、彼は自分がデモを発見したと信じていることをほのめかすような言葉で自分自身を表現しているという。

この予想は誤りであることが判明します。実際、これはフェルマーの唯一の誤った予想です。レオンハルト・オイラーは1732 年にF ₅の約数を提示しました。彼は 15 年後まで証明の構成を明らかにしませんでした。これは、1640 年にメルセンヌ数のパラメータ 23 と 37 の候補が非素数であることを実証することを可能にしたフェルマーの研究に正確に対応しています。

正多角形

カール・フリードリッヒ・ガウスは、これらの数値と、定規とコンパスを使った正多角形の構築との間に関連性を確立しました。nが 2 の累乗、または次の積である場合にのみ、 n辺を持つ正多角形を定規とコンパスを使って構築できます。 2 の累乗と個別の素数フェルマー数。

たとえば、5 は素数のフェルマー数であるため、定規とコンパスを使用して正五角形を作成できます。同様に、340 = 2 ²であるため、定規とコンパスを使用して 340 の辺を持つ多角形を作成できます。 F1 _。 F2 _。