アインシュタインの総和規則について詳しく解説

導入

数学、特に線形代数の物理学への応用では、アインシュタインの総和規則またはアインシュタイン表記は、座標を含む方程式を操作するための便利な表記のショートカットです。

この規則によれば、変数のインデックスが用語内に 2 回出現する場合、このインデックスが取り得るすべての値の合計を意味します。このインデックスは「サイレント」と呼ばれます。非ミュート インデックスはリアル インデックスと呼ばれ、対象の用語内に 1 回だけ出現できます。一般に、これらのインデックスは、ユークリッド空間での計算の場合は1、2 、および3 、ミンコフスキー空間での計算の場合は0、1、2 、および3 、または1、2、3 、および4ですが、他の異なる値または一部のアプリケーションでは、無限集合を表す場合もあります。三次元では、

$$ { y = c_i x^i \,} $$

したがって、意味する

$$ { y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3.} $$

一般相対性理論では、合計が 1、2、3 を超えるか、0、1、2、3 を超えるかを区別するために、ラテン文字とギリシャ文字がそれぞれ使用されます。たとえば、インデックスi 、 j 、 … は1 、 2 、 3およびμ 、 ν 、 … 0 、 1 、 2 、 3に使用されます。

一般相対性理論のように、インデックスがテンソルに関連する場合、サイレント インデックスは上部に 1 回、下部に 1 回出現する必要があります。他のアプリケーションでは、そのような区別は存在しません。

定義

伝統的に、私たちは有限次元nのベクトル空間VとV上の基底に興味を持っています。基底ベクトルは次のように記述できます。

。この場合、 はVのベクトルであり、この基底でのこれらの座標は次のとおりです。 。

基本的なルールは次のとおりです。

$$ {\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n v_i \mathbf{e}_i} $$

これは、アインシュタインの総和規則に従って次のように書かれます。

$$ {\mathbf{v} = v_i \mathbf{e}_i} $$

この式では、インデックスi が2 回出現するため、右側の項が 1 から n までのiのすべての値に追加されることが暗示されています。

インデックスi は、結果がそれに依存しないため、ミュートであると言われます。たとえば、同じことを表現するには次のように書くこともできます。

$$ {\mathbf{v} = v_k \mathbf{e}_k} $$

インデックスが下部に 1 回、上部に 1 回出現する必要があるコンテキストでは、基底ベクトルが書き込まれます。

しかし、座標はv ⁱと書かれています。基本的なルールは次のように記述されます。

$$ {\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i} $$

。

アインシュタインの表記の興味深い点は、テンソル積と双対性を使用してVから構築された他のベクトル空間にも適用できることです。例えば、

、それ自体Vのテンソル積であり、次の形式のテンソルで構成される基底を持ちます。 。任意のテンソルT 書くことができます:

$$ {T = T_{ij} \mathbf{e}_{ij}} $$

。

V * (Vの双対) には基底があります

これは次の規則に従います。

$$ {\mathbf{e}^i \mathbf{e}_j = \delta^i_j} $$

または

はクロネッカー記号です。 i = jの場合は 1、それ以外の場合は 0 です。

ここでは、インデックスが上部に 1 回、下部に 1 回表示される必要がある場合と同様に、デュアルベースに低いインデックスを使用しました。この場合、

がV * の要素である場合、次のようになります。

$$ {\mathbf{L} = L_i \mathbf{e}^i} $$

一方、すべてのインデックスを基底に配置する必要がある場合は、二重基底を指定するために別の文字を使用する必要があります。例えば：

$$ {\mathbf{d}_i = \mathbf{e}^i} $$

アインシュタインの表記法の有用性は、選択された基数について言及していない式や方程式で特に現れます。たとえば、

そして上記のように定義されています:

$$ {\mathbf{L}\cdot\mathbf{v} = L_i v^i} $$

。

そしてこれはすべての塩基に当てはまります。

次のセクションには、そのような方程式のさらなる例が含まれています。