導入
カントール・バーンスタインの定理 は、カントール・シュレーダー・バーンスタインの定理とも呼ばれ、集合論の定理です。数学者のゲオルグ・カンター、フェリックス・バーンスタイン、エルンスト・シュレーダーにちなんで名付けられました。カントールは最初の実証を行いましたが、それは暗黙的に選択公理を使用していました。バーンスタインとシュレーダーは、この公理に依存しない実証を行いました。
歴史的
ゲオルク・カントールは著書『超有限集合理論の基礎について』でそれを述べていますが、実証はしていません。彼の生徒であるフェリックス・バーンスタインは、1896 年に 18 歳でデモをスケッチしました。この本は、カントールの提案により、エミール・ボレルの筆で『機能の理論』として1898 年に出版されました。エルンスト・シュレーダーも同じ年の記事でこれを実証していますが、この実証は不完全であると考えられています。
リチャード・デデキント自身が 1897 年にそれを実証しましたが、出版されたのは 1930 年でした。エルンスト・ツェルメロは 1906 年に別の実証実験を行い、実際にデデキントのアイデアを取り上げました。
デモンストレーション #1
予備補題
まず、 u が集合Aからその部分の 1 つBへの単射写像である場合、 AからBへの全単射vが存在することを示しましょう。
どちらか
- $$ {\left\{\begin{matrix} C_0 = A\setminus B \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, C_n = u( C_{n-1} ) \end{matrix} \right.} $$
C をすべての集合の和集合とする
次に、 v を次のように定義されるAからBへのマップとします。
- $$ {\begin{matrix}v: & x \in C & \mapsto & u(x)\\ & x \notin C& \mapsto & x \end{matrix}} $$
u はBの値にあるため、 v はBの値で明確に定義されており、次の場合
v Cを注入します
vが全射であることを示しましょう。どちらか
- もし$$ {y \in C} $$
- それなら存在する$$ {i \in \mathbb{N}^*} $$のような$$ {y \in C_i} $$。 (私は厳密に肯定的なので、$$ {y \in B} $$、 それで$$ {y \notin C_0} $$）。
- したがって存在します$$ {x \in C_{i-1} \subset C} $$v ( x ) = u ( x ) = yとなります。
- もし$$ {y \notin C} $$
- 次に、 v ( y ) = y
- もし
したがって、 v は全単射です。これは最初の命題を証明します。
解釈
上に示した結果を具体的に解釈してみましょう。 A は、(無限の) 劇場の (無限の) 観客の集合です。各観客は場所を予約しており、最初は各場所は観客によって占有されていると想定されますが、必ずしもその場所を予約した観客によって占有されるわけではありません。 B は着席している観客全員になります。さらに、セットは無限であるため、立ち見の観客がいる可能性があります。アプリケーションuは、観客x に対して、 xの代わりに座っている観客y = u ( x ) を関連付けるアプリケーションです。
C 0 は、最初に立っている観客のセットです。これらの観客は自分の場所に行き、そこにいた人を追い払います。これらは集合C 1を形成します。後者も同様に進めます。 C n は、 n番目のステージに立っている観客を示します。彼らは予約した場所に行き、住人を追い出します。無限に繰り返します。 C は、少なくとも 1 回起立したすべての観客 (最初から起立していた観客も含む) を指します。
アプリケーションv は、起立しなければならない観客xに対して、追い払おうとしている観客y を関連付けるか、または観客にどのアプリケーションを関連付けるかを指定します。 vの逆適用は、邪魔されている観客yに対して、代わりに来る観客xを関連づける、または、決して邪魔されていない観客yに対して、 y自身を関連づける適用です。
定理の最終証明
それでは初期定理を証明してみましょう。
B = g ( F ) を、注入gによるFのイメージとする。マップu = g fは、 BへのEの注入です。
