ボード線図は、システムの周波数動作を表す方法です。特にアナログ システムの伝達関数の研究において、簡素化されたグラフィック解像度が可能になります。これは、ゲイン余裕、位相余裕、連続ゲイン、帯域幅、外乱除去、システムの安定性の特性に使用されます。
意味
周波数応答システムのボード線図
$$ {H(j\omega)\} $$
は 2 行で構成されます。- デシベル (dB) 単位のゲイン (または振幅)。その値は次から計算されます。 $$ {20\log_{10}{(|H(j\omega)|)}\} $$。
- 度単位の位相。次の式で与えられます。 $$ {\arg{(H(j\omega))}\} $$
パルススケールは対数であり、rad/s (ラジアン/秒) で表されます。対数スケールを使用すると、主に直線セクションで構成されているため、非常に読みやすいレイアウトが可能になります。
アナログシステムの漸近プロット
次のように記述された伝達関数を考えてみましょう。
または
$$ {\alpha \in \mathbb R\ ;\ q \in \mathbb Z\ ;\ \omega_k,\omega_l,\omega_m,\omega_n \in \mathbb R^*\ ;\ \xi_k,\xi_m \in \mathbb R\} $$
伝達関数はいくつかの方法で記述できますが、上記のように記述する必要があります。
- 1 次および 2 次の初等多項式の定数項は1に等しくなければなりません。これを行うには、定数α を使用します。
- 1 次および 2 次の初等多項式のpの項は分子になければなりません。 (以下のハイパス関数の書き換えを参照)
のモジュールが
$$ {H(p)\} $$
対数により、基本項のモジュールの合計に等しくなります。同じことがフェーズにも当てはまりますが、今回は引数関数が原因です。このため、最初に初等項のボード線図に焦点を当てます。一次システム
ローパス
- 意味
伝達関数を次のようにします。
- $$ {H(p)=\frac{1}{1+\frac{p}{\omega_0}}\} $$
脈拍
$$ {\omega_0\} $$
をカットオフパルスといいます。- 漸近プロット
のために
$$ {\omega \ll \omega_0,\ H(j\omega)\approx 1\} $$
それで$$ {|H_{dB}(j\omega)|=0\} $$
そして$$ {\arg{(H(j\omega))}=0^\circ\} $$
。のために
$$ {\omega \gg \omega_0,\ H(j\omega)\approx -j\frac{\omega_0}{\omega}\} $$
それで$$ {|H_{dB}(j\omega)|=-20\log_{10}(\omega)+20\log_{10}(\omega_0)\} $$
そして$$ {\arg{(H(j\omega))}=-90^\circ\} $$
。対数ベンチマークでは、
$$ {|H_{dB}(j\omega)|\} $$
結果は、-20dB/Decade または -6dB/Octave のスロープになります。傾き -1 についても話します。したがって、モジュールの漸近ボード線図は 2 つの線形セクションに要約されます。- リアルトラック
で
$$ {\omega_0\} $$
、 $$ {|H(j\omega_0)|=\frac{1}{1+j}} $$
どちらか$$ {|H_{db}(j\omega_0)|=20\log_{10}(\sqrt{2})=10\log_{10}(2)} $$
: 曲線は漸近線より 3dB 下に進みます。ハイパス
伝達関数を次のようにします。
- $$ {H(p)=\frac{1}{1+\frac{\omega_0}{p}} = \frac{\frac{p}{\omega_0}}{1+\frac{p}{\omega_0}}} $$
プロットは、dB 単位のモジュールとローパス位相の逆を取ることによって取得されます。
二次システム
ローパス
- 意味
伝達関数を次のようにします。
- $$ {H(p)=\frac{1}{1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2}\} $$
脈拍
$$ {\omega_0\} $$
を固有脈動といい、 $$ {\xi\} $$
減価償却です。- 漸近プロット
のために
$$ {\omega \ll \omega_0\ H(j\omega)\approx 1\} $$
それで$$ {|H_{dB}(j\omega)|=0\} $$
そして$$ {\arg{(H(j\omega))}=0^\circ\} $$
。のために
$$ {\omega \gg \omega_0\ H(j\omega)\approx \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2\} $$
それで$$ {|H_{dB}(j\omega)|=-40\log_{10}(\omega)+40\log_{10}(\omega_0)\} $$
そして$$ {\arg{(H(j\omega))}=-180^\circ\times \operatorname{signe(\omega_0\xi)}\} $$
。対数ベンチマークでは、
$$ {|H_{dB}(j\omega)|\} $$
結果は、-40dB/Decade または -12dB/Octave のスロープになります。勾配 -2 についても話します。したがって、モジュールの漸近ボード線図は 2 つの線形セクションに要約されます。- リアルトラック
いつ
$$ {\xi<\frac{\sqrt{2}}{2}\} $$
、システムはモジュール共振を示します$$ {|H(j\omega)|_{max}=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}\} $$
で$$ {\omega=\omega_0\sqrt{1-2\xi^2}\} $$
。ハイパス
伝達関数を次のようにします。
- $$ {H(p)=1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2\} $$
プロットは、dB 単位のモジュールとローパス位相の逆を取ることによって取得されます。
一般的なケースに戻る
上で述べたように、基本項のすべてのボード線図を追加して伝達関数図を取得できます。
$$ {H(p)\} $$
。ただし、この伝達関数が複雑な場合は、脈動を徐々に大きくすることで各項の寄与を考慮しやすくなります。
$$ {\omega\} $$
。初めの頃、
$$ {\omega\rightarrow 0\} $$
、モジュールの漸近線は傾き q (q*20dB/Decade) の直線であり、位相は一定です。 $$ {q \times 90^\circ\} $$
。その後、脈動に遭遇するたびに、次の手順に従ってトレースを変更します。- のために$$ {\omega=\omega_k\} $$モジュールのスロープに +2 を加えます (+40dB/Decade)。$$ {180^\circ\times \operatorname{signe(\omega_k\xi_k)}\} $$フェーズへ。
- のために$$ {\omega=\omega_l\} $$モジュールのスロープに +1 を加えます (+20dB/Decade)。$$ {90^\circ \times \operatorname{signe(\omega_l)}\} $$フェーズへ。
- のために$$ {\omega=\omega_m\} $$モジュールのスロープ (-40dB/Decade) に -2 を加えます。$$ {-180^\circ \times \operatorname{signe(\omega_m\xi_m)}\} $$フェーズへ。
- のために$$ {\omega=\omega_n\} $$モジュールのスロープ (-20dB/Decade) に -1 を追加します。$$ {-90^\circ \times \operatorname{signe(\omega_n)}\} $$フェーズへ。
デジタルシステムの図面
脈動領域の制限
今回は伝達関数があります
$$ {G(z)=\mathcal{Z}\{g(n)\}\} $$
ディスクリートシステムの。ボード線図を取得するには、単位円上で関数を評価する必要があります。
言い換えると、
$$ {z=e^{2\pi j\nu} \} $$
と$$ {\nu \in \left[0;\frac{1}{2}\right]} $$
(対称性により完全な円が得られます)。離散システムが連続システムの周期 T でのサンプリングから取得された場合、
$$ {z=e^{j\omega T} \} $$
と$$ {\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]} $$
。さらに、関係
$$ {|G(z)|_{z=e^{2\pi j\nu}}\} $$
そして$$ {\operatorname{arg(G(z)_{z=e^{2\pi j\nu}})}\} $$
～において合理的ではない$$ {\nu\} $$
。したがって、ルートの検討は複雑であり、コンピュータリソースを必要とする。双一次変換
ただし、連続ケースに戻ることを可能にするアプリケーションがあります。
- $$ {z=\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}\} $$
または逆関数
$$ {w=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\} $$
これがメビウス変換です。
この変換は虚数軸と一致します
$$ {w=j\Omega\} $$
単位円を持つ連続領域の$$ {z=e^{j\omega T}\} $$
離散領域の$$ {\omega=\frac{2}{T}\operatorname{arctan \left(\frac{T \Omega}{2}\right)}\} $$
。ただし、そのとき
$$ {\omega T\ll 1} $$
、 我々は持っています$$ {\omega\approx\Omega\} $$
、この場合、私たちは研究すべき有理分数の連続的な場合にいることになります。その後、アナログ システムの古典的な研究に戻ることができます。 $$ {\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]} $$
図の値が近いことがわかります$$ {\omega= \frac{\pi}{T}\} $$
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