デカルト積 – 定義

導入

この記事では、集合に関する数学的概念について説明します。グラフについては、「グラフのデカルト積」を参照してください。

数学では、 product-setと呼ばれる 2 つのセットXおよびYのデカルト積は、すべてのペアのセットであり、その最初の成分はXに属し、 2 番目の成分はYに属します。バイナリデカルト積の概念を有限デカルト積の概念に簡単に一般化します。これは、多重項の集合であり、 n集合のデカルト積の要素をn タプルと呼びます。素（またはデカルト）合計の概念を導入することもできます。無限のデカルト積、つまり任意の (おそらく無限の) 集合族の積に一般化するには、関数の概念が必要です。

デカルト積は、解析幾何学を作成する際に、現在私たちが呼んでいるものを最初に使用したルネ デカルトにちなんで名付けられました。

² = × ユークリッド平面を表すため、 ³ = × × 3 次元ユークリッド空間を表す ( は実線を示します）。

2 つの集合のデカルト積

意味

任意のセットAと任意のセットBには、最初のコンポーネントがAに属し、2 番目のコンポーネントがBに属するペアを要素とする一意のセットが存在します。

$$ { \forall A \; \forall B \; \exists! P\;\forall x \; \forall y \;[( x \in A \wedge y \in B ) \Leftrightarrow ( x , y ) \in P]} $$

この集合は「 A x B 」（「A クロス B」と読みます）と表され、 A × Bのデカルト積と呼ばれます。

デカルト対と積を原始的な概念として考えると、この存在と一意性の性質が公理として得られます。これは、選択されたカップルの表現について、集合論で実証されます。

例

Aが集合 { A、R、D、V、10、9、8、7、6、5、4、3、2 }、B が集合 { スペード、ハート、ダイヤ、クラブ} の場合、デカルト積はこれら 2 つのセットのうち、52 枚のカードからなる古典的なゲーム、つまり次のセットです。

{ (A、スペード) … (2、スペード) 、(A、ハート) … (2、ハート) 、(A、ダイヤ) … (2、ダイヤ) 、(A、クラブ) .. . (2、クローバー) }。

プロパティ

• 定義から直接、空集合による集合のデカルト積は空集合に等しい、つまり、任意の集合Aについて次のように推測します。

$$ {\varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing} $$

• AとBが有限基数の場合、 A x Bの基数はAとBの基数の積に等しくなります。

• 一般に、 B x A ≠ A x Bです。より正確には、任意の 2 つのセットAおよびBに対して次のようになります。

$$ {[A \times B \ne B \times A] \Leftrightarrow [( A \ne B ) \wedge ( A \ne \varnothing ) \wedge ( B \ne \varnothing )]} $$

• A x AはA ² (「A の 2 乗」と読みます) と表され、 Aのデカルト 2 乗と呼ばれます。

$$ { A^2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \} } $$

A ^{2 を}、 Aの対角線であるΔ A (「デルタ A」と読みます) と混同しないでください。

$$ { \Delta A = \{ ( x, x ) | x \in A \} } $$

注: セットの対角線は、このセットが空であるかシングルトンに縮小された場合に限り、そのデカルト正方形とマージされます。

• デカルト積の部分集合はグラフと呼ばれます。

集合論における表現

集合論では、いつものようにクラトフスキー対の表現を選択すると、最初の成分がAにあり、2 番目の成分がBにあるカップルは、次の要素になります。

(ここで、 P ( E ) はEの部分のセットを示します)。この全体の存在は、結合の公理と部分の集合の公理から生じます。

したがって、理解することでデカルト積を定義できます。当然ペアが必要になります。したがって、理解するには、前の公理に加えて、ペア公理と公理の図が必要です。

$$ { A \times B=\left \{(a,b)|(a\in A)\wedge(b\in B)\right\}=\left \{z\in P(P(A\cup B))|\exists a\in A\;\exists b\in B\ z=(a,b)\right\}} $$

部品のセットの代わりに置換公理スキームを使用してデカルト積を定義することもできます。

$$ {A \times B = \left\{ (a, b)| ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}=\bigcup_{b \in B} \left \{z | \exists a \in A\ z = (a,b) \right\} } $$

圏論における表現

集合の範疇では、2 つのオブジェクトSとTが与えられると、オブジェクトPと 2 つの射が存在します。

そして任意のオブジェクトXおよびすべての射などそして次のような一意の射f : X → Pが存在します。 そして 。オブジェクトP は、その存在が上で議論されたデカルト積SxTに他なりません。カップルはSxTの要素となります。 p ₁ ( M ) = sかつp ₂ ( M ) = tの場合、 M=(s,t)となります。

どのカテゴリーにおいても、積P は常に存在するとは限らず、存在する場合には、一意の同型まで一意になります。特に、このようにして得られた構造はすべて同型であるため、デカルト積SxT を定義することが可能になります。