公理的方法では、すべての論理法則が公理であるか、または有限数の演繹ルールを適用して公理から導出される式であるように、論理公理と演繹ルールからすべての一次論理法則を定義することができます。
この表現は、純粋に構文的には、モデル理論の意味論的表現と同等であり、これにより、論理法則をすべての可能な世界で真となる式として定義することが可能になります。この等価性は完全性定理の主題です。
Principia Mathematica の論理公理
論理法則は、Whitehead と Russell (1910) のシステム内で、6 つの公理スキームと 2 つの演繹規則、切り離し規則および一般化規則から得られます。
公理図
これらの公理スキームは次のとおりです。 p、q、および r は、1 次述語を計算するための任意の式 (自由変数の有無にかかわらず) に置き換えることができます。
- if (p または p) then p
- p の場合 (p または q)
- if (p または q) then (q または p)
- if (p の場合 q) then ((p または r) の場合 (q または r))
- if (すべての x が p である場合) then p’
ここで、p’ は、p 内で自由に出現するすべての x を、p 内で結合されていない変数y に置き換えることによって、p から取得されます。
- if (すべての x は (p または q) である) then (p またはすべてのx は q である)
ここで、p は自由変数として x を含まない式です。
控除の2つのルール
分離または法則の規則は、2 つの前提 p と (p であれば q) から q を推定できると述べています。
一般化の法則は、一意の前提 p から (すべての x は p であるようなものである) と推測できることを示しています。
自然控除との同等性
自然演繹という意味でのすべての非仮説的真理は、これらの図から得られる公理であるか、または 2 つの演繹規則を使用してこれらの公理から有限ステップで演繹できる結果であることを証明できます。
自然演繹で形式化できるすべての証明は、ホワイトヘッドとラッセルの論理計算 (一次) で形式化でき、その逆も同様です。
システムの完全性
ゲーデルは、これら 6 つの公理スキームとこれら 2 つの演繹規則がすべての論理法則を得るのに十分であるという完全性定理を証明しました。
