導入
ベイズ推論は、仮説の確率を計算または修正するために使用される論理的アプローチです。このアプローチは、ベイズの定理が導出される確率を組み合わせるための厳密なルールの使用によって管理されます。ベイジアンの観点では、確率は周波数の限界への通過として解釈されるのではなく、知識状態 (たとえば、仮説に与えられる信頼度。コックス・ジェインズの定理を参照) の数値的変換として解釈されます。 ）。
ジェインズは、このテーマについて生徒たちに帰納論理ロボットの比喩を使用しました。彼の著作へのリンクは、 「人工知能」の記事にあります。
確率の操作: 表記法と論理規則
ベイズ推論は、確率的ステートメントの操作に基づいています。混乱を避けるために、これらの記述は明確かつ簡潔でなければなりません。ベイズ推論は帰納法問題で特に役立ちます。ベイズ手法は、確率を変換するための形式的な規則を体系的に適用することにより、いわゆる標準手法とは区別されます。これらのルールの説明に進む前に、使用されている表記法について理解しておきましょう。
確率表記
妊娠しているかどうかを調べようとしている女性の例を見てみましょう。まず仮説Eを定義します。彼女は妊娠しています。その確率p ( E )を求めます。この確率の計算には、明らかに妊娠検査の分析が含まれます。妊娠中の女性の場合、10 回中 9 回の検査で陽性が示されることが研究で示されていると仮定します。妊娠していない女性の場合、検査では 19/20 の比率で陰性が示されるとします。仮説を定義すると、次のようになります。
- T P : 検査結果が陽性、
- T N : 検査結果は陰性、
以前の結果を確率論的に解釈できます。
仮説 T P が女性が妊娠していることを知る確率は 0.9 です。
確率言語では、このステートメントは式p ( T P | E ) = 0.9で表されます。同じように
条件演算子| に加えて、論理演算子 AND および OR には特別な表記法があります。したがって、2 つの仮説の同時確率は、次の符号で表されます。
確率ロジックのルール
確率を組み合わせるルールは 2 つだけで、そこからベイズ分析の理論全体が構築されます。これらの規則は、加算と乗算の規則です。
足し算の法則
乗算のルール
ベイズの定理は乗法則の対称性を利用するだけで導出できる
ベイズの定理により、確率を逆転させることができます。つまり、原因の結果がわかっている場合、結果を観察することで原因に戻ることができます。
前述の妊婦のケースでは、検査の結果がわかれば、ベイズの定理を使用して女性が妊娠している確率を計算することができます。実際、検査で陽性反応が出た場合には、
- 標準的な統計手法では体系的に無視されるのは、この事前推定です。
証拠の表記
この評価は IJ Good に起因することがよくあります。しかし、後者は著者をアラン・チューリングとし、独立してハロルド・ジェフリーズを含む他の研究者に帰した。
実際には、確率が 0 または 1 に非常に近い場合、その変化を確認するには、それ自体が非常にありそうにないと考えられる要素を観察する必要があります。証拠を次のように定義します。
| 確率 | 証拠 (dB) | 証拠（ビット） |
|---|---|---|
| 0.0001 | -40.0 | -13.3 |
| 0.0010 | -30.0 | -10.0 |
| 0.0100 | -20.0 | -6.6 |
| 0.1000 | -9.5 | -3.2 |
| 0.2000 | -6.0 | -2.0 |
| 0.3000 | -3.7 | -1.2 |
| 0.4000 | -1.8 | -0.6 |
| 0.5000 | 0.0 | 0.0 |
| 0.6000 | 1.8 | 0.6 |
| 0.7000 | 3.7 | 1.2 |
| 0.8000 | 6.0 | 2.0 |
| 0.9000 | 9.5 | 3.2 |
| 0.9900 | 20.0 | 6.6 |
| 0.9990 | 30.0 | 10.0 |
| 0.9999 | 40.0 | 13.3 |
Ev は証拠の重みの略語で、フランス語では「明らか」という言葉として翻訳されることもあります。元の英語の表現と最も一致する表現は、 「証言の重み」という言葉になりますが、面白い偶然ですが、フランス語では「証拠」がこの正確な用法に非常に適しているようです。
ジェフリーズの出版物のすぐ後に、アラン・チューリングが個人的な著作の中で対応する数量に対数オッズを命名することで、すでにこの問題に取り組んでいたことが判明しました。