導入
クルト・ゲーデル（ Kurt Gödel 、1906年4月28日 – 1978年1月14日）は、オーストリア系アメリカ人の数学者、論理学者であった。
その最もよく知られた結果であるゲーデルの不完全性定理は、整数演算を記述するのに十分強力な論理システムは理論の公理から反駁も確認もできない整数に関する命題を認めると主張します。ゲーデルはまた、一次述語の微積分の完全性を実証しました。彼はまた、連続体仮説の相対的な一貫性を実証し、これらの公理が一貫していると仮定すると、集合論の受け入れられた公理から反駁できないことを示しました。彼は再帰関数理論の創始者でもあります。
オーストリア人であると考えられることが多い彼は、オーストリア＝ハンガリー帝国のブルノで生まれ、12歳でチェコスロバキアに帰化し、23歳でオーストリアに帰化した。ヒトラーがオーストリア併合を命令すると、ゲーデルはドイツ人になった（当時32歳）。彼は第二次世界大戦中に米国に渡り、42歳でオーストリアとアメリカの二重国籍を取得した。
彼は 1931 年、まだウィーン大学(オーストリア) に勤務していた 25 歳のときに、最も重要な結果を発表しました。
バイオグラフィー
子供時代
小さな繊維会社のマネージャーであるルドルフ・ゲーデルとマリアンヌ・ゲーデル（旧姓ハンドシュー）の息子。ドイツ語を話すこの家族の中で、クルト君は「Der Herr Warum」（ミスター・ホワイ）というあだ名で呼ばれています。彼はブルノの小学校、次に中学校に通い、1923 年に優秀な成績で卒業しました。クルトは当初は語学に優れていましたが、すぐに歴史と数学の熱心なファンになりました。数学に対するこの情熱は、1920 年に兄のルドルフ (1902 年生まれ) が医学課程を履修するためにウィーンに向けて出発したときに新たな次元を迎えました。クルトは 10 代の頃、すでにガベルスベルガーの著作、ゲーテのアイザック ニュートン理論、およびカントの著作を研究していました。
彼が（最近）妻となる女性、アデーレ・ニンブルスキー（旧姓ポーケルト）に出会ったのもまたウィーン大学だった。彼は論理に関する最初の論文を発表し、数学システムの完全性と一貫性に関するボローニャでのデヴィッド・ヒルベルトによる会議に出席しました。 1929 年にゲーデルはオーストリア国民になり、同年にハンス ハーンの保護のもとで博士号を取得しました。彼は論文の中で、ゲーデルの完全性定理として知られる結果である、一次述語の微積分の完全性を確立しました。
ウィーン研究
18 歳のとき、クルトはウィーン大学で弟のルドルフに加わりました。この時点で彼はすでに大学レベルの数学と哲学を修得していました。当初は理論物理学を学ぶために入学しましたが、数学と哲学のコースも受講しました。彼が数学的実在論に固執したのはこの時でした。彼はカントの『自然科学の形而上学』を読み、モーリッツ・シュリック、ハンス・ハーン、ルドルフ・カルナップが主宰するウィーン・サークルに参加した。その後、カートは数論を研究しましたが、モーリッツ・シュリックによるバートランド・ラッセルの数学哲学入門に関するセミナーの後、すぐに数理論理学に転向しました。
ウィーンでの作品
ゲーデルは 1930 年に哲学の博士号を取得しました。彼は 1930 年に古典的な一次論理の完全性、つまりすべての有効な公式が実証可能であることを証明し、その結果はウィーン科学アカデミーによって発表されました。 1931 年に、彼は有名な不完全性定理をÜber 公式 unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systemeで発表しました。彼はこの記事で、自然数を記述するのに十分強力な公理系について次のことが断言できることを証明しています。
- 1. 一貫性と完全性を両立させることはできません (これは不完全性定理として知られる定理です)。
- 2. システムが一貫している場合、公理の一貫性はシステム自体内では証明できません。
これらの定理は、プリンキピア数学とヒルベルトの形式主義のやり方で、すべての数学を公理ベースに置くための決定的な公理セットを提案する何世紀にもわたる試みに終止符を打ちました。また、有効ではあるが証明できない数学的な問題が存在することも示唆しています。
不完全性定理の原理は単純です。ゲーデルは本質的に、与えられた形式体系では証明できないことを示す公式を構築しました。この公式が実証可能である場合、それは実証可能ではないため、矛盾が生じます。したがって、この公式は実証できないため、有効です。したがって、有効ではあるが証明できない公式が存在します。
これらの事実を明らかにするために、ゲーデルは証明のコーディングや整数内の実証可能性の概念そのものなど、多くの技術的問題を解決する必要がありました。彼はまた、それ自体が証明不可能であることを示す公式を記述するプロセス、つまり対角プロセスも必要でした。これらの形式の詳細は、なぜ彼の 1931 年の出版物が非常に長くて読みにくいのか、またジョン フォン ノイマンとアルフレッド タルスキーを除いて彼の同時代人が彼の結果を理解できなかった理由を説明しています。
ゲーデルは 1932 年にウィーン大学を卒業し、1933 年にウィーン大学の講師になりました。
しかし、1936年6月22日にモーリッツ・シュリック（彼のセミナーが論理学への興味のきっかけとなった）が疎外された若い学生ハンス・ネルベックによって暗殺された後、ゲーデルは特に影響を受け、最初のうつ病を経験した。
米国への旅行
この年、1933年はゲーデルが初めて米国へ出発した年でもあり、プリンストン高等研究所はゲーデルに1年間の「臨時会員」としての職を提供した。彼はアルバート・アインシュタインと出会い、強い友情を築きました。その後、彼は計算可能性のアイデアを開発し、再帰関数を研究し、一般的な再帰関数と真理の概念について講義を行ったほどです。この作品は、ゲーデル数の構築を使用して開発されました。
1934年に彼はプリンストン高等研究所に戻り、「形式数学系の公準の決定不可能性について」と題する一連の講義を行った。 Stephen Kleene とJ. Barkley Rosser はこれらの講義をメモし、ゲーデル全集として出版されました。
ゲーデルはその年の後半にプリンストンに戻った。旅行と仕事で彼は疲れ果て、翌年のほとんどを新たなうつ病の治療に費やさなければならなかった。彼は 1937 年に教職に戻り、その間、連続体仮説の相対的な一貫性の証明と独立性の証明に取り組みました。彼は独立性については失敗しましたが (ポール・コーエンによって 1963 年まで証明されませんでした)、集合論の公理を使用してこの仮説が反駁できないことを証明することに成功しました。彼は1939年9月20日にノートルダム大学でアデルと結婚した。
プリンストンで働く
1938 年のアンシュルスの後、オーストリアはナチス・ドイツの手に落ちました。後者はPrivatdozentの称号を廃止したため、ゲーデルはドイツ軍への編入について心配しなければならなかった。論文の家庭教師であるハンス・ハーンなどのユダヤ人教授との関係が彼に問題を引き起こした。 1939年末にはナチスの少数のグループによって攻撃さえ受けた。そのため、彼と妻は 1940 年 1 月に米国に避難しました。逮捕を恐れてできるだけ目立たずにシベリア鉄道で旅行し、太平洋を渡った後、1940 年 3 月 4 日にサンフランシスコに到着しました。到着後、カートとアデルはプリンストンに定住し、そこでカートはプリンストン高等研究所に再入学した。研究所では、ゲーデルは哲学と物理学にさらに関心を向けました。彼はゴットフリート・ライプニッツの著作を研究し、程度は低いですがカントとエドムント・フッサールの著作も研究しました。
彼は論理学者としての仕事を続け、1940 年に『選択公理と集合理論の公理との一般化連続仮説の一貫性』を出版しました。この作品では、彼は構築可能な宇宙の概念を導入しています。これは、存在する集合がより基本的な集合から構築できる集合のみであるという集合論のモデルです。ゲーデルは、選択公理と連続体の一般化された仮説の両方が構築可能な宇宙では真実であり、したがって一貫性がある必要があることを証明しました。彼は NP 完全問題の直観を持っていました。
1940 年代後半、彼はアインシュタインの一般相対性理論の方程式に対する逆説的な解の存在を実証しました。 「回転する宇宙」はタイムトラベルを可能にし、アインシュタインに自身の理論を疑うよう促したであろう（ゲーデルの宇宙を参照）。今日、この種の解は物理的な興味をあまり持たない数学的な好奇心とみなされていますが、その大きなメリットは、アインシュタイン方程式の他の正確な解の探索を刺激したことです。
1946 年に高等研究所の常任会員となり、1948 年にアメリカ国民に帰化しました。1953 年に同研究所の教授職を取得しましたが、1975 年に名誉教授の称号を拒否し、1976 年に名誉教授になりました。
1951 年 3 月、ゲーデルは (物理学者のジュリアン シュウィンガーと同時に) 第 1 回アインシュタイン賞を受賞し、その後いくつかの大学 (イェール大学、ハーバード大学など) で名誉博士に任命され、1951 年に「国民科学メダル」を受賞しました。 1974年。
さまざまな思い
70歳のゲーデルは、信仰心が篤く、カンタベリーのアンセルムスの議論とライプニッツの考察に触発された、神の存在の存在論的証明に基づく精緻な論考を友人たちに広めた。この精緻化は現在、ゲーデルの存在論的証明として知られています。
ゲーデルは、神聖な信念に加えて、私たちが生きているように「天使」と「悪魔」が住んでいる現実の知覚可能な宇宙とは対照的に、数学的宇宙、つまり理想的な宇宙における天使と悪魔の存在に疑問を呈しました。現実の宇宙。これは、直観と不完全性に関する彼の考えの結果であり、直観は数学的に証明も反証もできない数学的命題を生み出すことがありました。彼は、脳がチューリング マシンであり、したがって人間にとって決定不可能な問題が存在する、つまり「私たちから逃れる数学的性質が自律的に存在する」か、または脳がチューリング マシンを超え、したがって人間の心は「感覚的な世界から独立した現実」。このビジョンの難しさは、物質的で有限な脳と、この理想的な宇宙とのコミュニケーションにあります。このビジョンは、この推測の困難にもかかわらず、この理想的な宇宙にアクセスできる「直観器官」の存在を想定しています。
神が望んでいる限定された現実世界という彼のビジョンの結果、研究、形而上学、哲学などが、世界の理解を制限したいというこの願望と矛盾することになります。この点が彼の被害妄想に拍車をかけ、偉大な思想家が危険にさらされているとさえ考える。ゲーデルは、この物事のビジョンについては慎重であることを好み、それは彼の個人的なメモにのみ記載されています： 「私は私の哲学の中で最も論争にならない部分だけを公にします。」彼の同僚と世界の秩序。
死と栄誉
ゲーデルは生涯を通じて引きこもり、明らかに心気症の傾向があった。死が近づくと、彼は自分の健康をますます心配するようになり、毒殺計画の存在を確信するようになった。その後、彼は食べることをやめ、徐々に悪液質に陥った。彼は1978年1月14日に米国ニュージャージー州プリンストンで死去した。そのときの体重は約30キロでした。
1987 年に設立されたクルト ゲーデル社は、彼の栄誉にちなんで名付けられました。論理、哲学、数学史の分野における研究を推進する国際機関です。
理論コンピューターサイエンスの最高の業績を表彰するゲーデル賞は、1992 年に彼の栄誉を讃えて創設されました。