導入
| 学生の法則 | |
|---|---|
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 | |
| 設定 | k ≥ 1 自由度、 |
| サポート | $$ {x \in ]-\infty; +\infty[\,} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {f_T(t)= \frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}} $$ |
| 分布関数 | 1-γ = ƒ( t γ k )、記事の最後にある表を参照 |
| 希望 | k = 1の場合: 定義されていません k > 1 の場合: 0 |
| 中央値（中央） | 0 |
| ファッション | 0 |
| 分散 | k ≤ 2 の場合: $$ {+\infty} $$ k > 2の場合: $$ {\frac{k}{k-2}} $$ |
| 非対称性（統計） | k > 3 の場合は0 |
スチューデントの法則は確率法則であり、縮小中心正規法則に従う変数と、χ² 法則に従って分布する変数の平方根との商が関係します。
Z を中心化された縮小正規則を持つ確率変数とし、 U をZから独立し、自由度kの χ² 則に従って分散される変数であるとします。定義上、変数は
- $$ {T = \frac{Z}{\sqrt{U/k}}} $$
k自由度のスチューデント分布に従います。
の密度
- $$ {f_T(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},} $$k ≥ 1 の場合。
ここで、Γ はオイラーガンマ関数です。
密度
その期待値はk = 1 では定義できず、 k > 1 ではゼロになります。
k ≤ 2 の場合、その分散は無限大であり、価値があります。
歴史
スチューデント分布の計算は、ダブリンのギネス醸造所で働いていたウィリアム ゴセットによって 1908 年に発表されました。彼は自分の名前で出版することを禁じられていたため、学生というペンネームで出版しました。 t検定と理論は、この分布を「スチューデント分布」と呼んだロナルド フィッシャーの研究によって有名になりました。
応用: 分散が未知の正規則変数の期待値に関連する信頼区間
この章では、分散 σ² が不明な正規分布の期待値推定量 μ の信頼区間を決定する方法を示します。
定理— μから信頼しきい値αまでの信頼区間は次の式で与えられます。
と
- $$ {\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i} $$、希望の見積もり。
- $$ {S^2 = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i – \overline{x}) ^2} $$、不偏分散推定量。
- $$ {t_{\gamma}^{k}} $$k自由度のスチューデントの法則の次数 1-γ の分位数 (正確な定義は上に示します)。
x 1 , …, x n n 個の独立変数が、期待値 μ (決定される) と分散 σ² (未知) の同じ正規法則に従って分布するとします。
結果を達成するには、変数を導入する必要があります
どちらか
- $$ {\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i} $$
変数
どちらか
- $$ {s = \Sigma_{i=1}^n \frac{(x_i – \overline{x}) ^2}{\sigma^2}} $$
確率変数s は、自由度n – 1 の χ² の法則に従います。
注: この有用な結果は、χ² の法則を独立した中心変数と縮小正規変数 2 対 2 の二乗の和として定義する特性から実証されていますが、これは直接的な結果ではありません。特に変数
nが大きい場合、分散は
一方、次の変数の厳密な信頼区間を特徴付けることができます。
- $$ {T_0=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sqrt{S} / \sqrt{n}},} $$
と
- $$ {S = \frac{s\sigma^2}{n-1} = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i – \overline{x}) ^2} $$
実際、いくつかの単純化を行うと、変数T 0 は次のように書き換えることができます。
- $$ {T_0 = \frac{Z}{\sqrt{s/(n-1)}}} $$
と
- $$ { Z = \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}} $$。
変数Z は中心正規法則に従い、変数s は自由度n – 1 の χ² の法則に従います。さらに、 Zとsが独立であることを証明することができます。したがって、定義により、 T 0 はk = n – 1 の自由度でスチューデントの法則に従います。
したがって、変数T 0の分布は σ² とは独立してわかり、その結果、それに関連する信頼区間もわかります。したがって、変数x 1 、…、 x nの実現から μ の信頼区間を取得することが可能であり、そこから次の値を推定します。
k自由度のスチューデントの法則に従う変数Tについて、 t γ k を次のように定義します。
これは、スチューデントの法則の分布関数によって 1-γ がt γ kのイメージであると課すことになります。量t γ k は、 k自由度のスチューデントの法則の 1-γ 次分位数とも呼ばれます (以下のt γ k値の表を参照)。
この枠組みでは、 t γ k > 0 の場合、 -t γ k < T 0 < t γ kが得られる確率は 1-2γ に等しくなります。
しかし、私たちは持っています
- $$ {\mu = \overline{x} – T_0 \sqrt{\frac{S}{n}}} $$。
入手確率は
信頼水準 α は、正規分布の期待値 μ が信頼区間内にある確率に対応します。たとえば、α = 0.95 の場合、信頼水準は 95% であり、γ = (1-α)/2 = 0.025 に対応します。
以下の曲線は、信頼水準の概念を積分(青いゾーンの面積) として表すことによって示しています。 
上の曲線では、中央ゾーンと 2 つの同一の側方ゾーンの間の境界は、 t = t γ kおよびt = – t γ kに対応します。
要約すると、未知の分散の正規法則の期待値 μ の信頼区間は、すべて同じ法則に従うn 個の独立変数x 1 、…、 x nの値から決定できます。特定の信頼レベル α の場合、この間隔は次のようになります。
- $$ { \left[\,\overline{x} – t_{(1 – \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}, \overline{x} + t_{(1 – \alpha)/2}^{n-1}\sqrt{\frac{S}{n}}\,\right] } $$、
と
- $$ {\overline{x} = \frac{1}{n} \Sigma_{i=1}^n x_i} $$、
- $$ {S = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^n (x_i – \overline{x}) ^2} $$、
そして
- t γ k は、 k自由度のスチューデントの法則の次数 1-γ の分位数です (その正確な定義は上に示しています)。