社外品 – 定義

数学では、外積の概念により、辺を表すベクトルの積として見られる、任意の寸法の平行四辺形、平行六面体などの概念を代数的に説明することができます。

この非常に単純な最初のアイデアは、ダンボール箱を平らに平らにしていれば、保育園の高学年か少なくとも小学校の生徒でも部分的に理解できるものであるが、そのアイデアのさまざまな意味を厳密にプレゼンテーションすることの難しさの対比である。学士または修士課程の学生向けに使われる「外部製品」という表現は注目に値します。

外部製品の概念を理解する上で障害となるのは、次の表記であることを強調しなければなりません。

（ウェッジと呼ばれる）外積を指定するために広く使用されている、任意のベクトル空間のベクトルに関連できる結合演算ですが、残念なことに、ユークリッド空間指向のベクトルのみに関連する非結合演算を指定するためにフランスで使用されているものと一致します。 3次元であり、ベクトル積と呼ばれます。これら 2 つの演算は性質が異なりますが、密接な関係 (ホッジの双対性と関連している) を維持しているため、混乱が生じる危険があります (英語では状況が良く、「クロス積」と呼ばれるベクトル積が最も頻繁に存在することに注意してください) ）。より一般的には、プレイ中のオブジェクト間に多かれ少なかれ自然な同型性が数多く存在するため、外部計算に関係する分野は、それらを使用する科学コミュニティに応じて、一定数の用語のバリエーションや表記法の影響を受けます。混乱の元になる。

最も古典的な観点によれば、ベクトル族でサポートされている平行六面体が、この族がリンクされるとすぐに「平坦化」されるという事実は、外積をテンソル積の非対称化の結果であると考えることにつながります。これは連想積の最も一般的な形式と言えます。このような非対称化は、商への移行によって達成されます。この場合、テンソル代数の商は、テンソル平方によって生成されるこの代数の双対イデアルによって作業するベクトル空間に関連付けられます。

、これらは「平坦化」することを目的としているためです。したがって、外部代数を取得します。 ベクトル空間E.したがって、ある意味では、ベクトル空間の外代数の概念は、2 つのベクトルの外積の概念に先行します。

外積とテンソル積は異なる代数内で作用するため、テンソル積と外積を同じ式内で組み合わせることが原理的に不可能です。したがって、式は

$$ {a\wedge b=a\otimes b-b\otimes a} $$

外部積の定義は文字通りに解釈されるべきではなく、ベクトル空間を注入する可能性を表現するものとして提示されることがあります。

で 、 または外部代数のベクトル部分空間を表す 「平行四辺形」（またはバイベクトル）によって生成される 。この注射により識別が可能になりますの部分空間へ 、バイベクトルを識別することにより反対称テンソルへ 。ローラン・シュワルツは、著書「Les tensurs」(Hermann、1975) の中で、そのような同一視は推奨されないと述べています (p. 103)。

ただし、ベクトル空間E が空間Fの双対空間F ^*として与えられる特殊な場合では、

そしてこの場合、 はそれぞれ、交互多重線形形式の代数および F 上の多重線形形式の代数として自然に解釈されます。この場合、ベクトル空間は当然のことながら、 。特に、この観点から、2 つの線形形式の外積は、 次の式で定義される交互双線形形式です。

外部代数では

、通常はありません 。