大数の法則は、 17世紀に新しい数学言語が発見された際に形式化されました。
基本的に、大数の法則は、大規模な系列からランダムに抽出する場合、サンプルサイズを増やすほど、抽出 (サンプル) の統計的特徴が母集団の統計的特徴に近づくことを示しています。しかし、興味深いことに、初期集団の特徴を近似するために採取されるサンプルのサイズは、初期系列のサイズにわずかにしか依存しないか、まったく依存しないことに注意してください。ルクセンブルクまたは米国での調査の場合、次のようになります。精度が等しい場合は、同じサイズのサンプルを取得するだけで十分です。
ほとんどの世論調査はこの法律に基づいています[ 1 ] 。彼らは、人口全体の（おそらく）意見を知るために十分な数の人々を調査します。同様に、大数の法則が正式に確立されなければ、保険がこれほど成長することはありえませんでした。実際、この法律により、保険会社は、責任を負う損失が発生するかどうかの確率を決定することができます。
大数の法則は、一連の実験から確率法則を決定するために、推論統計でも使用されます。
数学者は 2 つのステートメントを区別し、それぞれ「大数の弱い法則」と「大数の強い法則」と呼びます。
興味深いのは、大数の法則が形而上学的な疑問を提起しているということです。個別に考えられる出来事が偶然の影響を受けることに誰も驚かないのです (コインを 1000 回転がして 1000 回の裏を出すことは不可能ではありません…)。それにもかかわらず、実験を実行すると、あたかも自然のバランス法則が存在するかのように、あたかもカオスは不可能であるかのように、全体的な可能性は存在しないことがわかります (およそ 50% の表と 50% の裏が得られます…)。災害なんてありえない…
ただし、平均ゲインを絶対ゲインと混同しないでください。 2 人のプレーヤーが非常に長い間表か裏でプレーし、負けたプレーヤーが勝ったプレーヤーにユーロを与える場合、各プレーヤーの平均賞金は事実上 0 に近づく傾向があります (平均は次のように定義されます: 賞金を数字で割ったもの)ただし、各プレイヤーのゲインは、振幅が増加しながら交互に上昇と下降を繰り返します。
- ↑クォータルールを特に使用しない人
大数の弱い法則
大数の弱い法則は、ヒンチンの定理とも呼ばれます (ほとんど使用されません)。
同じ確率の法則、有限分散の法則に従い、期待値がE(X)であるn 個の独立した確率変数を考慮すると、大数の弱い法則により、厳密に正の実数εに対して、経験的平均が
- $$ {\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{X_1+X_2+…+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \epsilon\right) = 0} $$
これはチェビシェフの不等式を使用して証明されます。
- $$ {P(|Y – E(Y)|\geq \epsilon) \leq \frac{V(Y)}{\epsilon^2}} $$
そして、変数に注目してください。
- $$ {P\left(\left|\frac{X_1+X_2+…+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{V(X)}{n\epsilon^2}} $$
また、 Y n は確率的にE(X)に収束するとも言います。
強力な大数の法則
同じ確率法則に従う、積分可能なn個の独立した確率変数を考えます (つまり、
つまり、次のようになります。
- $$ {P\left(\lim_{n \to +\infty} Y_n(\omega) = E(X)\right)=1} $$
確率法則への収束
同じ大数の法則により、サンプル母集団の分布は、 nが十分に大きい場合のXの確率法則によって近似できると言えます。
値x iの周波数f n ( i )が確率p iに収束することを証明するには、 X (ω) = x iの場合は値 1 をとり、そうでない場合は値 0 をとる確率変数を使用するだけで十分です。
この確率変数には期待値p i があります。
周波数f n ( i )は確率的に、またほぼ確実にp iに向かって収束します。
