導入
ビリヤード ゲームでは、衝突は実質的に弾力的です。
弾性衝撃は、衝撃ゾーンの弾性によって完全に制御される反発を生み出す 2 つの物体間の衝撃です。これは、物体が衝突時のような永久的な変形を起こすことなく、元の形状に戻ることを意味します。
これは、弾性衝突によって、つまり散逸することなく固体力学でモデル化されます。衝突するボディで構成されるシステムでは、以下が維持されます。
物体間の相対速度は、衝突の前後で（反対方向で）同じです。言い換えれば、反発係数(相対速度の比) は 1 に等しいということです。(ソフト ショックとは対照的に)ハード ショックについても言及されることがあります。
弾性衝突は、運動エネルギーが保存されない非弾性衝突とは対照的です (たとえば、衝突物体は塑性変形によってエネルギーを吸収できます)。
2体分の配合
2 つの物体 1 と 2 の衝突を考慮すると、次のようになります。
- $$ {\vec {p_1}\,} $$インパクト前の動きの量と、$$ {\vec {p_1}’\,} $$ボディショック後のこと 1
- $$ {\vec {p_2}\,} $$インパクト前の動きの量と、$$ {\vec {p_2}’\,} $$ボディショック後のこと2
- $$ {m_1\,} $$物体 1 の質量 (定数と仮定)
- $$ {m_2\,} $$物体 2 の質量 (定数と仮定)
- $$ {\vec {v_1}\,} $$インパクト前のスピード$$ {\vec {v_1}’\,} $$ボディショック後のこと 1
- $$ {\vec {v_2}\,} $$インパクト前のスピード$$ {\vec {v_2}’\,} $$ボディショック後のこと2
運動量保存定理は次のようになります。
総運動エネルギーを保存すると、次のことが得られます。
$$ {m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 {v’}_1^2 + m_2 {v’}_2^2} $$
とすれば
$$ {\vec {p} = m \vec{v}} $$
、完全弾性衝撃に対して次のシステムが得られます。特殊相対性理論における弾性衝撃
相対論力学における弾性衝撃の問題は、特殊相対性理論の記事で扱われます。
解決策の例
2 点の直接衝突
直接衝突と呼ばれる場合、衝突前後の点の速度ベクトルが同じ軸上にプロットされます。したがって、それに投影することにより、システム (1) は次の形式に単純化できます。
$$ {\left\{\begin{matrix} m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 {v’}_1 + m_2 {v’}_2 \\ m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 {v’}_1^2 + m_2 {v’}_2^2 \end{matrix}\right.\,} $$
このシステムの分解能は、初期質量と速度の関数として衝撃後の速度を与えます。
$$ {\left\{\begin{matrix} {v’}_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} v_1 + \frac{2 m_2}{m_1+m_2} v_2 \\ \\ {v’}_2 = \frac{2 m_1}{m_1+m_2} v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2} v_2 \end{matrix}\right.\,} $$
点質量の場合のベクトル形式での解像度
もし
$$ {\vec v_i} $$
そして$$ {\vec v_i^{~’} } $$
、 i = 1;2 は、それぞれ衝撃前後の物体の速度です。 $$ {\vec V_I = \frac{m_1. \vec v_1 + m_2. \vec v_2}{m_1 + m_2}} $$
は慣性中心の速度です (衝撃の前後で変化しません)。 $$ { \vec v_i^{~’} = – \vec v_i + 2. \vec V_I} $$
、 i = 1;2の場合。同じ質量の 2 つのボールの衝撃
同じ質量の 2 つのボールの衝撃
2 つのボールの質量が同じ場合、「衝突面」(青と緑) に対して通常の運動量を単純に交換し、接線速度 (オレンジと赤) を維持します。
接触点は、未知の t を使用して次の二次方程式を解くことで簡単に決定できます。
ここで、 p n はボール n の位置です。
$$ {\vec{v_n}} $$
速度、r 半径、t 衝突の日付。上記の方程式に少なくとも 1 つの正の根が認められる場合、衝突が発生します。次のコードは、衝突後の速度ベクトルを計算する方法を示しています。// 2 次元で同じ質量と半径 r の2 つのボール間の衝突の計算(ビリヤードのボールなど) // ボールは接触点に配置されます// (mx,my) = ボールの中心 m (画像参照) // (m.vx,m.vy) = インパクト m 前のボールの速度 (画像参照) // 正規直交基底の計算 (n,g) // n は衝突面 g に垂直ですは二重正接 nx = ( m2. x - m1. x ) / ( 2 * r ) ;ダブルny = ( m2.y - m1.y ) / ( 2 * r ) ;ダブルgx = -ny ;ダブルgy = nx ; // このダブルベースでの速度の計算v1n = nx * m1。 vx + ny * m1。ヴァイ; double v1g = gx * m1。 vx + gy * m1。ヴァイ; double v2n = nx * m2。 vx + ny * m2。ヴァイ;ダブルv2g = gx * m2。 vx + gy * m2。ヴァイ; // 座標 n を並べ替え、接線速度を維持します。 //逆変換を実行します (正規直交基底 => 転置行列) m1。 vx = nx * v2n + gx * v1g ; m1。 vy = ny * v2n + gy * v1g ;平方メートル。 vx = nx * v1n + gx * v2g ;平方メートル。 vy = ny * v1n + gy * v2g ;