変分原理 – 定義

導入

変分原理は、変分形式で表現された問題から生じる物理原理です。多くの場合、力学方程式を解くことは、適切な一般空間で測地線を見つけることに帰着できます。一方で、これらの測地線は、この空間内の固定点を結ぶ円弧の長さを表す特定の積分の極値であることがわかっています。したがって、少なくとも特定の場合には、機械的問題は変動を伴う問題として表現できること、言い換えれば、特定の積分の最初の変動がゼロであると仮定することによって、表現できることはすでに予測できます。問題を変分形式に還元したと言えます。一方、変分問題に対して数学で確立されたオイラー方程式は、機械的問題を解決するために物理学で確立されたラグランジュ方程式に似ています。この類似性は、明らかに、この変形形式への還元の可能性も示唆しています。

フェルマーの原理

私たちは古代から現代に至るまでほぼ連続的に変分原理の痕跡をたどることができますが、アレクサンドリアのサギから（ ¹世紀末か2^世紀初頭にかけて） 1500年以上待たなければなりません。 ¹⁷世紀まで、ピエール・ド・フェルマー (1601 ～ 1665 年) が実用化に至るまで。光線に適用できるフェルマーの原理は、フェルマー自身の時代から起こった改良を考慮して、次のように書くことができます。

ここで、P と Q は 2 つの固定点です。

は光の位相速度を表し、ds は光線と記号がたどる経路の円弧要素です。 は、P から Q に移動するパスにわずかな変化が生じることを示します。

光の位相速度、言い換えればその伝播速度は、考慮している点によって変化しますが、この点での光線の方向によっては変化しません。この方程式は、曲線積分の変分(ギリシャ文字δで示される) を表します。

はゼロです。つまり、実際の軌道に沿って評価されたこの積分と、無限に隣接する仮想軌道に沿って評価された積分の差は、無限小の 2 次です。これは積分が最小であることを意味するのではなく、積分が極値であることを意味するだけです。実際、それが実際に最小値の問題であることを証明できるのは、経路 PQ が十分に小さいため、「隣接する」光線が実際の光線と交差できない場合のみです。

最初の変動がゼロであるという特性のみを任意の PQ パスに拡張できるため、古い名前の「最小原理」ではなく「変動原理」という新しい名前が付けられています。そして、用語と解釈のこの変更により、フェルマーの原理は、その有用性ではないにしても、その発展に間違いなく役割を果たした美的および哲学的価値の少なくとも少しを失うことになることを認識しなければなりません。

特定の単純な光学系を研究することは、問題を説明するのに役立ちます。実際に、これらの光学システムの 1 つによって研究される不均一媒質を表してみましょう。この例では、点 P の像、つまり、わずかに異なる角度で P から来るすべての光線の合流点の位置は、2 つの焦点距離 EF と GH で構成され、その距離が非点収差の l’ を特徴づけます。システム。次に、曲線積分が次のことを示すことができます。 $$ {\int_{P \rightarrow Q} v^{-1} ds} $$