ペアノの公理について詳しく解説

ペアノ公理は、数学において、算術を定義するためにジュゼッペ ペアノによって提案された一連の 2 次公理です [ 1 ]。

公理

ペアノの自然数の公理的定義は、通常、次の 5 つの公理によって非公式に記述されます。

1. ゼロと呼ばれる要素は0であり、自然数です。
2. すべての自然数n には、 s ( n )またはSnで示される一意の後続数があります。
3. 後続の0 を持たない自然数はありません。
4. 同じ後続を持つ 2 つの自然数は等しい。
5. 自然数のセットに0 が含まれ、その各要素の後続値が含まれる場合、このセットは次と等しくなります。
   $$ {\mathbb{N}} $$
   。

最初の公理により、自然整数のセットは空ではないことが述べられ、3 番目の公理では最初の要素があることが、5 番目の公理では漸化性の原理が検証されることがわかります。

より正式には、トリプレット

次の特性を満たします。

1. Eは集合、 xはEの要素、 s はE自体のマップです。
2. $$ {x \notin s\left(E\right)} $$
3. sは単射です
4. x を含み、 sによって安定しているEの任意のサブセットF (つまり、
   $$ {s\left(F\right) \subset F} $$
   ) はEに等しい。

このような構造は、(数学者リチャード・デデキントにちなんで) デデキント・ペアノ構造と呼ばれます [ 2 ]

ペアノ算術

ペアノ算術は、一次算術の言語に対するペアノ公理の制限です。

。言語変数は、解釈ドメイン内のオブジェクト (ここでは整数) を指定します。この一次言語では、整数のセットに対する変数がなく、これらのセットを定量化することはできません。したがって、前の段落のようなステートメント (「任意のサブセット…」) で繰り返しを直接表現することはできません。次に、次の部分集合を考慮します。 はその要素のプロパティ、つまり算術言語で記述するプロパティによって表現されます。

ペアノの公理は次の 7 つの公理になり、これに反復のために公理のスキーマが追加されます。これは公理の可算無限(言語の各式の公理) を表します。

1. $$ {\forall x \lnot (sx = 0)} $$
2. $$ {\forall x \exists y (\lnot x=0 \rightarrow sy=x )} $$
3. $$ {\forall x \forall y (sx=sy \rightarrow x=y)} $$
4. $$ {\forall x (x+0=x)} $$
5. $$ {\forall x \forall y (x+sy = s(x+y))} $$
6. $$ {\forall x (x\cdot 0=0)} $$
7. $$ {\forall x \forall y (x\cdot Sy = (x\cdot y) + x)} $$
8. あらゆる式に対して
   $$ {\phi(x,x_1,\ldots,x_n)} $$
   n + 1 個の自由変数を使用すると、
   $$ {\forall x_1 \ldots \forall x_n \left( \left(\phi \left(0,x_1,\ldots ,x_n \right) \wedge \forall x \left(\phi \left(x,x_1,\ldots ,x_n \right)\rightarrow \phi \left(Sx,x_1,\ldots ,x_n \right) \right) \right)\rightarrow \forall x \phi \left(x,x_1,\ldots,x_n \right) \right)} $$

公理図は漸化式をうまく表現しています。

、変数はパラメータであり、任意の整数に置き換えることができます 。式の公理になる、適用される :

それを明確に表現しているのは、全体が

0が含まれており、その各要素の後続要素が含まれている場合は、 。

ただし、公理スキームはこのプロパティを次のサブセットに対してのみ提供します。

これらは一次算術の言語で定義されます: の部分集合の可算無限大 。

言語を変更しない限り、ペアノの算術は有限公理化できないことがわかります。したがって、公理を最小化しようとすることは必ずしも意味がありません。公理 2 が削除される可能性があることにまだ気づくことができます。これは、ケース 0 を後続ケースから区別する必要があるため、かなり特異な再発である再発によって証明されますが、後者の場合、再発の仮説は役に立ちません。

存在感と独自性

デデキント・ペアノ構造の存在は、集合論の枠組みにおける非常に一般的な構造によって確立できます。

• 0 = ∅ とします。
• 任意のセットaに対して、 (直感的な意味での) サクセサーs を設定することで定義します。
  $$ {s(a)=a \cup \{a\}} $$
  。すべてのセットaとbについて次のことがわかります。

s ( a ) ≠ 0; s ( a ) = s ( b ) ⇒ a = b 。

• 集合 A に 0 が含まれており、後続関数によって閉じられている場合、つまり次の場合、集合Aは帰納的であると言われます。
  $$ {a \in A} $$
  、 それで
  $$ {s(a) \in A} $$
  。
• 少なくとも 1 つの帰納集合の存在は、無限の公理によって保証されます。次に構造を定義します
  $$ {\left( \mathbf{N}, \empty, s|_\mathbf{N} \right)} $$
  :
  $$ {\mathbf{N}} $$
  はすべての帰納集合の交点であり、
  $$ {s|_\mathbf{N}} $$
  はsの制限です
  $$ {\mathbf{N}} $$
  。この構造は、前述の公理を満たします (特に、規則性があります)。定義できます
  $$ {\mathbf{N}} $$
  自然数の集合のようなもの。

この集合は、有限フォン・ノイマン序数の集合でもあります。 Nのこの構築は実際には標準的ではありません。重要なことは、0 は決して後続ではなく、後続は単射的であるということです (そして、繰り返しますが、それが取得されたセット上にあれば十分です)。しかし、それにより、次のように構築することができます。単純かつ均一な方法で、各有限基数を表す集合 (このようにして構築された整数n は、集合として基数n を持ちます)、無限の公理により、それらが集合を形成することを証明できます。

2 つのデデキント・ペアノ構造

そして全単射がある場合は同型と呼ばれます φ( x ) = yおよびφ f = g φとなるようにします。すべてのデデキント・ペアノ構造が同型であることがわかります。

という表記をよく見かけますが、

すべての自然数に対して。

操作と順序

加算と乗算は次のように定義されます。

ペアノ公理による。

追加は

は、すべてのaおよびbに対してa + 0 = aおよびa + s ( b ) = s ( a + b )を設定することによって再帰的に定義されます。 したがって、 は中立要素0を持つ可換モノイドです。このモノイドはグループに浸すことができます。それを含む最小のグループは整数のグループです。

s (0) = 1なので、 s ( b ) = s ( b + 0) = b + s (0) = b + 1となります。 bの後継は単にb + 1です。

同様に、加算が定義されていると仮定すると、乗算は次のようになります。

設定によって定義されますそして 。したがって、 は中立要素1を持つ可換モノイドです。

ついに合計注文を定義できるようになりました。

と仮定することで a + c = bとなる数値c が存在する場合。それでこの順序を備えたものは順序付けられた商品です。空でない自然数の集合は最小の要素を持ちます。

一貫性

ゲーデルの第 2不完全性定理のおかげで、これらの公理間の矛盾がないことは、これらの公理だけの結果ではありません。算術内での算術の一貫性を証明することはできません。

デデキント・ペアノ構造は、これらの公理のモデルです。したがって、上記の構成は、これらの構造を定義し、修正の証明を形式化できる理論、たとえばエルンスト ツェルメロの公理集合理論と比較した公理の一貫性の証明を提供します。相対的な一貫性の証明、特に算術の_「強さ」の正確な尺度を提供するゲルハルト・ゲンツェンの証明もあります。算術。

非標準モデル

デデキント・ペアノ構造ではないため、デデキント・ペアノ構造と同型ではないペアノ算術モデル。

を「規格外」といいます。

非標準の算術モデルには自然整数が含まれており、これを「標準」整数と呼びます。これらは言語用語で指定できるモデルの要素であり、モデルの他の要素は非標準整数と呼ばれます。 。

より正確に言えば、

が非標準の算術モデルである場合、次の注入f が存在します。 でのような ：

• $$ {f(0) = 0\quad} $$
• $$ {\forall n, f(s(n)) = s(f(n))} $$

fのイメージは、モデルの標準整数のセットと呼ばれるものです。

算術言語では標準整数と非標準整数を区別することはできません。述語によって標準整数の特徴付けが可能になった場合、この述語に固有の漸化スキームが無効になるためです。したがって、非標準モデルでこれらの概念について推論するとすぐに、ペアノの算術から「終了」します。しかし、もちろん、ペアノの公理がこのモデルでも有効であるという事実を利用できます。たとえば、非標準の整数が必ず標準の整数よりも大きいことを示すのは簡単です。順序全体 (加算によって定義されます、上記を参照) は有効なままです。非標準の整数が標準の整数より小さい場合、後続単射性と漸化式によって、0 より小さい非標準の整数が存在し、0 が後続となることが示されます。さらに単純に言えば、ゼロ以外の整数はすべて後続するため、これより小さい非標準整数は存在できないことがわかります。

標準外機種の存在

• コンパクト性定理とレーヴェンハイム・スコレムの定理により、以下とまったく同じ一次ステートメントを満たすペアノ算術の非標準可算モデルが存在することが保証されます。
  $$ {\mathbf{N}\,} $$
  。アブラハム・ロビンソンは、特にこの条件を検証する算術モデルに基づいた非標準的な分析をベースにしています。

• 偽の一次ステートメントを検証する非標準モデルもあります。
  $$ {\mathbf{N}\,} $$
  (さらに、モデルの概念の定義により、ペアノのすべての証明可能なステートメントを思い出してください)。での真実の声明
  $$ {\mathbf{N}\,} $$
  は、このステートメントが偽である非標準モデルが存在する場合に限り、ペアノ算術では証明できません。したがって、ゲーデルの不完全性定理は、そのようなモデルの存在をもたらします (ペアノの算術が矛盾していることを表す公式を検証します!)。逆に、そのようなモデルを使用して、特定のステートメントがペアノ算術では証明できないことを示すことができます。