軌道決定 – 定義

軌道決定の予備プロセスは、天体の軌道を記述する 6 つの軌道要素を観測から決定することで構成されます。

Ω 、昇交点の経度

i 、基本平面上の軌道面の傾き

a 、長半径

e 、偏心

ω 、近点角

t ₀ 、近点への通過時間の 1 つ

このプロセスの難しさは、観測では観測者に対する天体の方向のみが得られ、天体と観測者との距離については情報が得られないという事実から生じます。

その場合、空間内の物体の位置は不明であり、この同じ物体の速度の成分も不明です。その後、利用可能な情報量を増やすために、別の機会に追加の観測を実行する必要があります。

太陽中心の デカルト座標を考えてみましょう

$$ {\begin{matrix} x &=& r[\cos(v+\omega)\cos \Omega -\sin(v+\omega)\sin\Omega\cos i] \\ y &=& r[\cos(v+\omega)\sin\Omega+\sin(v+\omega)\cos\Omega\cos i] \\ z &=& r\sin(v+\omega)\sin i \end{matrix}} $$

これらの方程式の右辺には、すべての軌道要素が含まれます。

r 、星からの距離、および

v 、近点を向いた楕円の主軸に対する軌道上の星体の半径の角度。

黄道地心座標から黄道地心座標への移行は、次の関係によって実行されます。

$$ {\begin{matrix} \xi^\prime &=& x+X \\ \eta^\prime&=& y+Y\\ \zeta^\prime &=& z+Z \end{matrix}} $$

ここで、 X 、 Y 、 Zは太陽の地心黄道座標、つまり既知のパラメータと

$$ {\begin{matrix} \xi^\prime &=& \rho\cos\lambda\cos\beta \\ \eta^\prime&=& \rho\sin\lambda\cos\beta \\ \zeta^\prime &=& \rho\sin\beta \end{matrix}} $$

ここで、 λとβはそれぞれ天体の経度と緯度、 ρ は地球からの天体の距離、つまり未知のパラメーターである地心距離を表します。しかし、天体の見かけの位置は通常、隣接する恒星と思われる恒星からの角度偏差を測定することによって得られます。星の位置は赤経と赤経、つまり赤道地心座標で表されるため、天体の観測結果もこの座標で表されます。次に、赤道基準系から黄道基準系に移動する必要があります。この遷移は、次の三角関数の関係 (球面三角法) を使用して実行されます。

$$ {\begin{matrix} \cos\beta\cos\lambda &=& \cos\delta\cos\alpha \\ \cos\beta\sin\lambda &=& \sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos\delta\sin\alpha \\ \sin\beta &=& \cos\epsilon\sin\delta-\sin\epsilon\cos\delta\sin\alpha \end{matrix}} $$

ここで、 ε は黄道に対する赤道面の傾きに対応します。これらの最後の方程式から次のことがわかります。

$$ {\tan \lambda=\frac{\sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos \delta\sin\alpha}{\cos\delta\cos\alpha}} $$

この最後の方程式により、経度λを決定することができます。緯度β も推定します。置換により、次が得られます。

$$ {\begin{matrix} \rho\cos\lambda\cos\beta &=& r[\cos(v+\omega)\cos\Omega -\sin(v+\omega)\sin\Omega\cos i]-X \\ \rho\sin\lambda\cos\beta &=& r[\cos(v+\omega)\sin\Omega -\sin(v+\omega)\cos\Omega\cos i]-Y \\ \rho\sin\beta &=& r\sin(v+\omega)\sin i-Z \end{matrix}} $$

地心距離rは地心距離ρに関連付けられていることに注意してください。したがって、これらの方程式は、7 つの未知数、6 つの軌道要素、および地心距離ρを含む 3 つの方程式系を表します。他の量、

最小観測値数

時間t ₁で実行された観測により、7 つの未知数を含む 3 つの方程式系を解くことができたことがわかりました。

$$ {\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1} $$

時間t ₁とt ₂で実行された 2 つの観測により、8 つの未知数を含む 6 つの方程式からなる系が得られることは明らかです。

$$ {\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1,\ \rho_2} $$

同様に、3 つの観測により、9 つの未知数を含む 9 つの方程式からなる系が得られます。

$$ {\Omega,\ i,\ \omega,\ a,\ e,\ t_0,\ \rho_1,\ \rho_2,\ \rho_3} $$

したがって、軌道要素を取得するには、一連の 3 回の観測を実行する必要があります。