境界操作 – 定義

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このページは、極限に関する記事 (初等数学) の付録であり、通常の演算 (加算、乗算、合成など) を極限に変換する方法を説明します。

ここにリストされているすべての結果は、関数制限とシーケンス制限の両方に有効です。

代数演算

ここでは、極限がわかっている関数または数列に対して初歩的な代数演算を実行する場合を考えます。ほとんどの場合、結論を下すことができますが、追加の研究が必要な場合もあります。不定形式 (FI) と呼ばれます。これらのケースは個別に処理されます。

実数による乗算

数列を乗算することができます

または関数固定実数による ;次に、次のものを取得します。

• 続編
  $$ {ku = \bigl((ku)_n\bigr) \,\!} $$
  によって定義されます:
  $$ {\forall n \in \N,\ (ku)_n = k \times u_n \,\!} $$

• 機能
  $$ {kf \,\!} $$
  によって定義されます:
  $$ {\forall x \in \R,\ (kf)(x) = k \times f(x) \,\!} $$

次に、シーケンスが有限の極限に収束するかどうかに応じて、次の表を書くことができます。

またはに向かって発散します :

$$ {\lim \, u_n \,\!} $$	$$ {\ \ \ell \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$
$$ {\lim \, (ku)_n \,\!} $$	$$ {\ k width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\ k\ell \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$
	$$ {\ k<0 \,\!} $$	$$ {\ k\ell \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$

関数の場合についてもまったく同じテーブルがあります

。一点限りかどうかまたは制限の場合私たちは書きます 。の限界東 ：

$$ {\lim \, f \,\!} $$	$$ {\ \ \ell \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$
$$ {\lim \, kf \,\!} $$	$$ {\ k width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\ k\ell \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$
	$$ {\ k<0 \,\!} $$	$$ {\ k\ell \ \,\!} $$	$$ {\ +\infty \ \,\!} $$	$$ {\ -\infty \ \,\!} $$

追加

2 つのシーケンスを追加できます

そしてまたは 2 つの関数そして :

• 続編
  $$ {u+v \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\forall n \in \N, \ (u+v)_n = u_n+v_n \,\!} $$

• 機能
  $$ {f+g \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\forall n \in \N, \ (f+g)(x) = f(x)+g(x) \,\!} $$

数列の制限を与えることができます

シーケンスのそれぞれの制限に従ってそして 。結果を次の表に示します。

$$ {\lim \, v_n \,\!} $$
$$ {\lim \, u_n \,\!} $$	$$ {\ell’ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell \,\!} $$	$$ {\ell + \ell’ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	FI	$$ {+\infty \,\!} $$

の制限についてまったく同じテーブルがあります。

それぞれの制限に応じて、 そして 。

$$ {\lim \, f \,\!} $$
$$ {\lim \, g \,\!} $$	$$ {\ell’ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell \,\!} $$	$$ {\ell + \ell’ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	FI	$$ {+\infty \,\!} $$

乗算

2 つの数列を乗算できます

そしてまたは 2 つの関数そして :

• 続編
  $$ {u \times v \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\forall n \in \N, \ (u \times v)_n = u_n \times v_n \,\!} $$

• 機能
  $$ {f \times g \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\forall n \in \N, \ (f \times g)(x) = f(x) \times g(x) \,\!} $$

数列の制限を与えることができます

シーケンスのそれぞれの制限に従ってそして 。結果を次の表に示します。

$$ {\lim \, v_n \,\!} $$
$$ {\lim \, u_n \,\!} $$	$$ {\ell'<0 \,\!} $$	$$ {\ell’ width=} $$ 0\,\!” >	$$ {0 \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell<0 \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$
$$ {\ell width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	FI	FI
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	FI	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$

の制限についてまったく同じテーブルがあります。

それぞれの制限に応じて、 そして 。

$$ {\lim \, g \,\!} $$
$$ {\lim \, f \,\!} $$	$$ {\ell'<0 \,\!} $$	$$ {\ell’ width=} $$ 0\,\!” >	$$ {0 \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell<0 \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$
$$ {\ell width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {\ell \ell’ \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	$$ {0 \,\!} $$	FI	FI
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	FI	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$

分割

シーケンスを分割できます

その後チェック中または関数関数によってチェック中すべてのために考慮されている点の近く:

• 続編
  $$ {\frac{u}{v} \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\forall n \in \N, \ \left(\frac{u}{v}\right)_n = \frac{u_n}{v_n} \,\!} $$

• 機能
  $$ {\frac{f}{g} \,\!} $$
  は次のように定義されます。
  $$ {\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \,\!} $$
  みんなのために
  $$ {x \,\!} $$
  のような
  $$ {g(x) \neq 0 \,\!} $$

数列の制限を与えることができます

シーケンスのそれぞれの制限に従ってそして 。結果を次の表に示します。

$$ {\lim \, v_n \,\!} $$
$$ {\lim \, u_n \,\!} $$	$$ {\ell'<0 \,\!} $$	$$ {\ell’ width=} $$ 0\,\!” >	$$ {0^- \,\!} $$	$$ {0^+ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell<0 \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$
$$ {\ell width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$
$$ {0^- \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	FI	FI	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$
$$ {0^+ \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	FI	FI	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	FI
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	FI

の制限についてまったく同じテーブルがあります。

それぞれの制限に応じて、 そして 。

$$ {\lim \, g \,\!} $$
$$ {\lim \, f \,\!} $$	$$ {\ell'<0 \,\!} $$	$$ {\ell’ width=} $$ 0\,\!” >	$$ {0^- \,\!} $$	$$ {0^+ \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$
$$ {\ell<0 \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$
$$ {\ell width=} $$ 0\,\!” >	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {\frac{\ell}{\ell’} \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$
$$ {0^- \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	FI	FI	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$
$$ {0^+ \,\!} $$	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$	FI	FI	$$ {0^{(-)} \,\!} $$	$$ {0^{(+)} \,\!} $$
$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	FI
$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	$$ {+\infty \,\!} $$	$$ {-\infty \,\!} $$	FI	FI

不定形

不定形式は、次の加法型のいずれかです。

、または乗算型の場合: 、 または 。

不確定性を取り除くために、次の手法の 1 つ以上を使用します。

• 私たちはライティング（因数分解、開発など）を変革しようとします。
• 通常の関数の比較成長に関する結果を使用します (基準限界を参照)
• 限界の古典的な性質を適用します

例: 計算しようとしています

$$ {\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\!} $$

したがって、私たちは不定の「加算」形式の場合にいます。式を因数分解します。

$$ {\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4} \times (x-1) \,\!} $$

$$ {\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^4} = +\infty \,\!} $$

そして

$$ {\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1 \,\!} $$

したがって、乗算の規則に従って結論を下すことができます。

$$ {\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}\right) = -\infty \,\!} $$

構成

どちらか：

• f Jで定義された関数。
• g次のようなI上で定義された関数
  $$ {f(I)\subset J} $$
  ;
• $$ {a\in I} $$
  またはIの制限があります。

もし ：

• $$ {\lim_{x\to a}g(x) = b} $$
• $$ {\lim_{x\to b}f(x) = \ell’} $$

それで