場所 (数学)について詳しく解説

導入

代数学では、局所化は可換代数の基本演算の 1 つです。単一可換リング上に新たなリングを構築する方法です。分数体の構築は、局在化の特殊なケースです。

直感的なコンセプト

ローカリゼーションは、リングの一部 (「乗算部分」) の要素を可逆にすることで構成されます。最もよく知られた例は、リングのすべての非ゼロ要素を可逆にすることによって構築される整数リングの分数フィールドです。また、局所化は、以前は反転できなかった要素による分割を許可する「より大きな」リングにリングを送信する方法とみなすこともできます。たとえば、次の場所です。

最初の理想では指輪ですここで、 7の倍数ではないすべての整数には逆数が認められます。このリングは主成分でもあるため、離散評価のリング構造に対応します。

工事

局所的なリングを構築するには、分数フィールドの構築と同様に進めますが、リングが常に完全であるとは限らないという事実を考慮するための追加の予防措置が必要です。デカルト積について

の場合、同値関係は次のようになります: ( a , s )~( a ‘, s ‘)要素が存在する場合にのみ t ( s’a − sa ‘ ) = 0となるようにします。残りの構造は分数フィールドの構造と同じです。要素tの使用は推移性にとって重要です。

意味

A をユニタリ可換環とする。 a ^-1 a ^-1は自動的に a² の逆になるため、要素a ∈ Aを単独で反転することはできません。したがって、乗算部分、つまり集合を扱います。

、乗算によって安定し、1 を含みます。

部分S内のリングAの位置は、 S ^-1 Aで示されるリングのデータと射のデータになります。

のような：

$$ {l_S(S)\subset(S^{-1}A)^* \quad \quad (l_S(s)\text{ est inversible pour tout }s\in S),} $$

そして、これは次の普遍的性質を検証します: あらゆる環射について

、 もし

$$ {f(S)\subset B^* \quad \quad (f(s)\text{ est inversible pour tout }s\in S),} $$

その場合、一意の射が存在します

のような 。

環S ^-1 AはA _SまたはA [ S ^-1 ] とも表され、 Sに分母が含まれるSに関連付けられたAの分数の環、またはSに関するAの分数の環と呼ばれます。

用語「ローカリゼーション」の説明

多項式の環ℂ[X]を考えてみましょう。 ℂ は代数的に閉じているため、 ℂ[X] の環スペクトルは ℂ 自体と同一になります (ヌルイデアルに対応する追加の点を伴います)。 0 でキャンセルすることによって生成された最大イデアルに局在化されます。この新しいリングは、0 に極のない有理分数のセットです (したがって、0 の近傍で正則です)。これにより、 0の近傍の多項式の特性に焦点を当てることができるため、局在リングという用語が生まれました。

重要な例

• 通常の要素 (つまり、ゼロの約数ではない) は、次のような乗算部分を形成します。
  $$ {A^\times} $$
  ;指輪
  $$ {(A^\times)^{-1}A} $$
  はAの分数の環の合計です。この場合の位置準同型性は単射性です。
• 補完的な
  $$ {A\setminus p} $$
  素イデアルのp は乗算部分であるため、環の位置を特定するために使用できます。この場合に注意するのは、
  $$ {\displaystyle A_p=(A\setminus p)^{-1}A} $$
  。これは、 A to pから localized と呼ばれるローカル リングです。
• Aが整数リングの場合、最初の例は 2 番目の例の特殊なケースです。実際、ヌルイデアルは素数であり、その補数は次のようになります。
  $$ {A^\times} $$
  。この場合、
  $$ {(A^\times)^{-1}A} $$
  はAの分数体と呼ばれる体です。
• Aが整数の場合、A は分数の本体における最大イデアルにおける局所性の交差に等しくなります。
• Aが整数環でない場合、素イデアルpの補数にはゼロの約数が含まれる可能性があります。位置準同型性
  $$ {A\to A_p} $$
  したがって、は単射的ではありません。たとえば、 Kがフィールドの場合に生成されるリングA = K ²を考えてみましょう。最大の理想は 2 つあります
  $$ {M_1=K\times 0} $$
  そして
  $$ {M_2=0\times K} $$
  。 2つの場所
  $$ {A_{M_i}} $$
  はKと同型であり、2 つの正準マップは実際には 2 つの射影になります。この場合、要素を反転してもその数は増加せず、逆に減少することがわかります。
• f をAの要素とします。 {1} と正の累乗^f nの集合S和集合は、 Aの乗算部分を形成します。この乗算部分に関するAの位置はA _fで示されます。 fがnilpotent である場合に限り、 A _fはゼロリングであることに注意してください。 Aが整数の場合、 A _fはAの要素をfの正のべき乗で商として表すことができる分数の集合です。