リサージュ曲線について詳しく解説

リサージュ曲線 は、リサージュ図形またはボウディッチ曲線とも呼ばれ、その長方形の成分が正弦波状に動く点の軌跡です。

この曲線群は 1815 年に Nathaniel Bowditch によって研究され、その後 1857 年に Jules Lissajous によってさらに詳細に研究されました。

数学的定義

リサージュ曲線は、次のパラメトリック方程式で定義できます。

$$ {x( \theta )=a\sin(\theta)\,} $$ $$ {y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,} $$

または $$ {0\le \phi \le \frac {\pi}{2}} $$ そして $$ {n\ge 1\,} $$

は曲線のパラメータと呼ばれ、2 つの正弦波運動の脈動の比に対応します。さらに、この関係が合理的であれば、次の形で表すことができます。 そして、曲線のパラメトリック方程式は次のようになります。

$$ {x( \theta )=a\sin(p\theta)\,} $$ $$ {y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,} $$ $$ {0\le \theta \le 2\pi} $$

または $$ {0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}} $$

プロパティ

• n が無理数の場合、曲線は長方形[-a,a]x[-b,b] 内で密になります。
• n が有理数の場合、
  • 次の場合、曲線は次数2q の代数曲線です。
    $$ {\phi \in \left]0,\frac{\pi}{2p} \right]} $$
    p が奇数の場合、または
    $$ {\phi \in \left[0,\frac{\pi}{2p} \right[} $$
    pでも。
  • 次の場合、曲線は次数 q の代数曲線の一部です。
    $$ {\phi=0\,} $$
    p が奇数の場合、または
    $$ {\phi=\frac{\pi}{2p}} $$
    pでも。

• n が偶数の整数の場合、
  $$ {\phi = \frac{\pi}{2}} $$
  、または n が奇数の整数であり、
  $$ {\phi =0\,} $$
  、曲線は、n 次のチェビシェフ多項式 T _nの曲線の一部です。

特殊な場合

• a=b および n=1 の場合、曲線は楕円になります。
  • もし
    $$ {\phi=\frac{\pi}{2}} $$
    、この楕円は円です
  • もし
    $$ {\phi=0\,} $$
    、この楕円は線分です
• a=b かつ n=q=2 (つまり p=1) の場合、曲線はバッグになります。
  • もし
    $$ {\phi=\frac{\pi}{2}} $$
    、このバッグはたとえ話の一部です
  • もし
    $$ {\phi=0\,} $$
    、このバッグはジェロノ レムニスケートです。

以下に、 φ = 0 、 p奇数、 q偶数、 | を使用したプロットの例をいくつか示します。 p − q | = 1。

p = 1、 q = 2 (1:2)	p = 3、 q = 2 (3:2)	p = 3、 q = 4 (3:4)	p = 5、 q = 4 (5:4)
p = 5、 q = 6 (5:6)	p = 9、 q = 8 (9:8)