等差数列 – 定義

数学では、等差数列は次のように定義された数列です。

要素が存在するような加法群Eの値を持つのと呼ばれる理由:

$$ {\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} = u_n + r \,} $$

実際に

または 。しかし、ベクトル空間内の値を持つ算術シーケンスにも簡単に遭遇することができます。

次に、条件は次のようになります。

「等差数列」になっています。

例理由が次の場合

そして :

• $$ {\ u_0=10} $$
• $$ {\ u_1=12} $$
• $$ {\ u_2=14} $$
• $$ {\vdots} $$

総称

Eがグループの場合、

理由のEの等差数列ですだから、すべてについて :

$$ {u_n = u_0 + n.r \,} $$

より一般的には、シーケンスが次のように定義されている場合、

そして、 nとp がAに属する場合、次のようになります。

$$ {u_n = u_p + (n – p).r \,} $$

したがって、等差数列はその最初の項のデータによって完全に決定されます。

そして彼の理由により、 r 。

逆に、上で定義されたシーケンスは、

による

$$ {u_n = u_{n_0} + (n – n_0).r \,} $$

は、理由rの算術シーケンスです。

実数解析または複素解析では、算術シーケンスはアフィン関数の離散的な側面です。

変化と収束の方向

この段落は、値を含む算術シーケンスに関するものです。

。

r > 0の場合、シーケンスは増加し、 r < 0の場合、シーケンスは減少し、 r = 0の場合、シーケンスは一定です。

一般に ( rがゼロ以外の場合)、算術数列は発散します。ただし、限界は認められます。

• r > 0の場合、その限界は
  $$ {+ \infty} $$
• r < 0の場合、その限界は
  $$ {- \infty} $$
  。
• 理由がゼロの場合、数列は定数であり、定数に収束します。

項の合計

もし

またはそしてもしはEの等差数列です。すると、すべての場合、 :

$$ {\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)} $$

伝説によれば、この計算方法はカール フリードリヒ ガウスによって発明されたと言われています。ガウスは、娯楽を求められ、1 から 100 までのすべての整数の合計を計算するタスクを任されていた放逸な学生でした。合計を 2 回書きます。順序を変えて、彼は次のものを取得しました。

S = 1 + 2 + 3 + …. + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + …+ 3 + 2 + 1

次に、100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = … = 101 に気づき、簡単に次の結果を取得しました。

2S = 100 × 101 したがって、S = 50 × 101。

伝説か現実かに関係なく、このヒントは項の合計を計算するためのデモンストレーション方法です。

S = u ₀ + u ₁ + … + u _n

S = u _n + u _{n − 1} + … + u ₀

u _p + u _{n − p} = u ₀ + u _nに注目すると、次のようになります。

$$ {2S = (n+1) \times (u_0+u_n)} $$

このプロパティは、最初のn個の整数の合計を計算するために適用されます。

$$ {1 + 2 + 3 … + n = \frac{n(n+1)}{2}} $$

等差数列の連続項の任意の合計に一般化します。

$$ {u_p + u_{p+1} + …+u_n = \frac{(n-p+1)(u_n + u_p)}{2}} $$

また、 2とは異なる特性を持つフィールド上のベクトル空間内の任意の値のシーケンスにも一般化します。