アフィン関数 – 定義

初等数学では、アフィン関数は、グラフ表現が直線である実数変数の関数です。これは、次数が 1 以下の多項式関数です。 。それは次のように定義されます

$$ {x \mapsto f(x)= m\times x + p} $$

と

$$ {m, p \in \mathbb{R}} $$

上の式では、m と p は定数、x は変数です。

定数 m は先頭係数と呼ばれ、p は原点で順序付けされます。

m がゼロの場合、関数は定数です。

p がゼロの場合、関数は線形であり、その代表線は原点を通過します。

特徴的な性質

アフィン関数は、増加率が一定であるという特徴があります。実際、 x ₁とx ₂が 2 つの実数の場合、増加f ( x ₁ ) − f ( x ₂ )はx ₁ − x ₂に比例します。

$$ {f(x_1) – f(x_2) = m(x_1 – x_2) \,} $$

このプロパティは、係数m を決定するツールを提供します。

$$ {m = \frac{f(x_1) – f(x_2)} {x_1 – x_2}} $$

x ₁ − x ₂がゼロ以外の場合。

例

アフィン関数の例をいくつか示します。

• 電話契約: 月額契約の価格は A、 1 分あたりの通話料金は 0.10 ユーロ/分です。電話料金は、その月の通信時間x のアフィン関数になります。

$$ {f(x) = A + 0,1\times x} $$

• ばねの長さ: 静止しているばねの長さがL ₀であり、その剛性が k である場合、ばねの長さは加えられた力のアフィン関数になります (フックの法則)。

$$ {L(f) = L_0 + \frac{f}{k}} $$

この場合、主要な係数は次のとおりです。

$$ {\frac{1}{k}} $$

縦軸は原点Ｌ _０におけるものである。

グラフィック表現

アフィン関数のグラフィック表現は、次の方程式を持つ直線です。

$$ {y = ax + b \,} $$

この線は、 y = bの y 軸と交差します (そのため、名前はy-intercept です)。 b が 0 に等しい場合、線はデカルト座標系の原点を通過します。

直線は、実数aの傾きまたは方向係数を持ちます。 a>0 の場合、アフィン関数は増加しています (線が「上がる」)。a<0 の場合、アフィン関数は減少しています (線が「下降」)。一次関数で見られるのと同様のプロセスにより、横軸上の 1 タイルの移動は縦軸上のタイルの移動を引き起こします。

aとbの決定

方程式y = a x + bの直線に属する 2 つの点L ( x ₁ , y ₁ )とM ( x ₂ , y ₂ )があるとすると、次のようになります。

$$ {a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} $$

$$ {b = y_1 – ax_1 = y_2 – ax_2 \,} $$

メディア

• アフィン関数の対話型グラフィック表現