非対称正規法則 – 定義

導入

通常の非対称
設定	$$ {\xi \,} $$ 位置（実際） $$ {\omega \,} $$ スケール (正の実数) $$ {\alpha \,} $$ 形状（非対称）（リアル）
サポート	$$ {x \in (-\infty; +\infty)\!} $$
確率密度(質量関数)	$$ {\frac{1}{\omega\pi} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2\omega^2}} \int_{-\infty}^{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)} e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt} $$
分布関数	$$ {\Phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)-2T\left(\frac{x-\xi}{\omega},\alpha\right)} $$ T ( h , a )はオーウェンの T 関数です
希望	$$ {\xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}} $$ または $$ {\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alpha^2}}} $$
分散	$$ {\omega^2\left(1 – \frac{2\delta^2}{\pi}\right)} $$
非対称性（統計）	$$ {\frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^3}{ \left(1-2\delta^2/\pi\right)^{3/2}}} $$
尖度 (標準化されていない)	$$ {2(\pi – 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)^4}{\left(1-2\delta^2/\pi\right)^2}} $$
モーメント発生機能	$$ {\exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)\Phi(\sigma\delta t)} $$
特徴的な機能	$$ {\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))} $$

確率理論と統計学では、非対称正規分布は、ゼロ以外の非対称性を導入することで正規分布を一般化する連続確率法則です。

意味

φ( x ) を縮小中心正規分布の確率密度とします。

$$ {\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}} $$

その分布関数は次のように与えられます

$$ {\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].} $$

次に、パラメータα をもつ非対称正規分布の確率密度は次のように与えられます。

$$ {f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,} $$

これに位置パラメータとスケールパラメータを追加するには、通常の変換を使用します。

。 α = 0の場合に正規分布が見つかり、 αの絶対値が増加すると非対称性の絶対値が増加することを確認できます。 α > 0の場合、分布は右に偏り、 α < 0の場合、左に偏ります。位置パラメータ ξ、スケール パラメータ ω、および非対称パラメータ α による確率密度は次のようになります。

$$ {f(x) = \left(\frac{2}{\omega}\right)\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right). \,} $$

見積もり

ξ 、 ω 、 αの 最尤推定量は数値的に計算できますが、 α = 0でない限り推定量を直接表現することはできません。明示的な式が必要な場合は、モーメント法を適用して、歪度方程式を逆にして、サンプルの経験的な歪度からαを推定できます。これにより推定量が得られます

$$ {|\delta| = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{ |\hat{\gamma}_3|^{\frac{1}{3}} }{\sqrt{|\hat{\gamma}_3|^{\frac{2}{3}}+((4-\pi)/2)^\frac{2}{3}}}} $$

または

、 そして経験的な非対称性です。 δの符号は次の符号と同じです。 。したがって、 。