導入
一般的なトポロジーという意味でのフレシェ空間については、記事「Space T1」で説明されています。
フレシェ空間は、ノルムが存在しない場合でも、バナッハ空間に関連する特定の定理を満たす位相ベクトル空間の数学的構造です。この名前は、トポロジーの創設と関数解析におけるその応用に参加したフランスの数学者モーリス・フレシェにちなんでいます。フレシェ空間の構造が特に有用であることが証明されるのは、この最後の領域であり、特に無限微分可能な関数の空間に自然なトポロジーを提供することによって実現されます。
意味
実位相ベクトル空間は、次の両方の場合にフレシェ空間と呼ばれます。
またはもっと単純に、それが局所的に凸状で完全に計量可能（完全な距離で計量可能）である場合。
- 局所的に凸、
- メトリズ可能、そして
- 均一な空間という意味で完成し、
非ゼロのフレシェ空間の場合、トポロジーを引き起こす距離がいくつか存在し、それらはすべて完全です。翻訳不変のものもあります。
機能分析では、次の同等の定義を直接使用します。
フレシェ空間は、完全な実数 evt (一様な意味で) であり、そのトポロジーは、半ノルムの可算な分離族によって誘導されます。
同様に、そのような半規範のファミリーの標準的な選択はありません。また、互換性のある距離、または互換性があり不変な距離と、これらの半規範のファミリーの間には、自然な全単射は存在しません。
プロパティ
完全性仮説により、ベールの定理とその結果をフレシェ空間などに適用することが可能になります。
- バナッハ・シュタインハウスの定理: フレシェ空間から位相ベクトル空間への写像の単純有界族は等連続です。
- 開写像定理: 2 つのフレシェ空間間の任意の連続全射写像は開いています。
- その結果、2 つのフレシェ空間間の全単射連続写像は同相写像になります。
- 閉グラフ定理: 2 つのフレシェ空間間の閉グラフの適用は連続的です。
局所凸性により、次の特性も保証されます。
局所反転定理は一般にフレシェ空間には当てはまりませんが、ナッシュ・モーザーの定理と呼ばれる弱いバージョンが発見されています。
例
すべてのバナッハ空間はフレシェ空間ですが、その逆は常に真であるとは限りません。特に、特定のフレシェ空間は正規化できません。
これは区間 [0;1] 上の無限微分可能関数の空間 C ∞ ([0;1]) の場合であり、任意の整数k ≥ 0 に対して準ノルムを与えることができます。
- $$ {\|f\|_k = \sup_{x\in[0;1]}\left|f^{(k)}(x)\right|} $$
ここで、 f (0) = fであり、すべてのk > 0 について、 f ( k ) はfのk次導関数を表します。
この空間では、関数のシーケンス ( fn )が関数に向かって収束します。
より一般的には、 Mが滑らかなコンパクト多様体、 B がバナハ空間である場合、 sup偏導関数によって定義される半ノルムのおかげで、 MからBへの無限微分可能関数の空間はフレシェ空間構造で提供されます。
実数列または複素数列の空間には、各列にその列の固定項の絶対値を関連付ける半ノルムによってフレシェ空間構造を与えることもできます。一連のシーケンスの収束は、用語間の収束となります。
より一般的には、σ コンパクト位相空間Xからバナッハ空間までの一連の連続関数には、空間X をカバーするコンパクト上のsupノルムによって定義される準ノルムを与えることができます。得られたトポロジは、関数空間のコンパクトオープン トポロジと識別されます。したがって、ℝ から ℝ への連続写像の空間はフレシェ空間です。
