導入
E を有限次元nの実指向ユークリッド ベクトル空間とする。 E のベクトル回転は、特殊直交群SO ( E )の要素です。 E の直接正規直交基底を選択すると、この基底の行列は直接直交になります。
フラットベクトルの回転
マトリックスの書き込み
平面内では、ベクトルの回転は角度によって単純に定義されます。
$$ {\varphi\,} $$
。直接正規直交基底の行列は次のとおりです。 $$ {\left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi \\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{matrix}\right]} $$
つまり、成分のベクトルV
$$ {\left[x ; y\right]} $$
a は成分のベクトル V’ を変換します$$ {\left[x’ ; y’\right]} $$
これは行列の等価性を使用して計算できます。 $$ {\left[\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi \\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]} $$
つまり、次のものがあります。
$$ {x’ = x \cos \varphi – y \sin \varphi\,} $$
そして$$ {y’ = x \sin \varphi + y \cos \varphi\,} $$
複雑な文章
注: これは、複素数で書かれた次の式と比較できます。
$$ {x’+ i\ y’ = (x + i\ y)(\cos \varphi + i \sin \varphi)} $$
またはもう一度:
$$ {z’ = x’+ i\ y’ = (x + i\ y)\cdot e^{\ i\varphi} = z\cdot e^{\ i\varphi}\,} $$
回転方向
いつ
$$ {\varphi} $$
は0 ～ πであり、平面が通常の方向に向いている場合、回転は三角関数または反時計回りの方向に行われます。この回転はシニストラルであると言われています。もし$$ {\varphi} $$
が− πと0 の間にある場合、回転は時計回りに行われます。それは右腕と呼ばれます。構成
2 つのベクトル回転の合成は、その角度が 2 つの回転の角度の合計であるベクトル回転です。これは、ベクトル回転のグループがグループと同型であると言い換えることができます。
$$ {(\mathbb R/2\pi\mathbb Z,+)} $$
。回転と角度
幾何学の公理的構造では、角度の概念を定義できるようにするのは平面回転の定義です (角度の記事を参照)。
次元 4 の回転
直交群SO(4) の行列も同様に ( Cでの対角化の後) 正準形式に置くことができます。 2 つの直交するベクトル平面が存在し、各平面の 2 つのベクトルで構成される正規直交基底で行列が書かれることを示します。
$$ {\begin{bmatrix}\cos\alpha &-\sin\alpha&0&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0&0\\0&0&\cos\beta&-\sin\beta\\0&0&\sin\beta&\cos\beta\end{bmatrix}} $$
。したがって、回転は 2 つの平面回転で構成されており、特に角度 α または β のいずれかがゼロでない限り、固定ベクトル (「軸」がない) を持たないことがわかります (この場合、次の類推により と言えます)。 3 次元の場合、平面「周囲」の回転）。もし$$ {\alpha\ne\beta} $$
、2 つの平面は一意であり、回転によってグローバルに不変な唯一の平面です。 α = β (いわゆる等傾斜回転) の場合、ベクトルとその画像によって生成されるすべての平面はグローバルに不変です。3次元空間でのベクトル回転
マトリックスの書き込み
3 次元空間では、ベクトルの回転はその軸によって定義されます。
$$ {\vec N} $$
このベクトルの回転とその角度によってベクトルが不変になる向き$$ {\varphi\,} $$
、軸に直交する平面に関係する平面ベクトルの回転です。ベクトルは次のように仮定します。
$$ {\vec N} $$
、座標$$ {\left[n_x ; n_y ; n_z\right]} $$
直接正規直交基底で正規化されます。 $$ {\|\vec N\| = 1} $$
。どちらか
$$ {\vec U } $$
任意のベクトル。注意しましょう$$ {\vec V } $$
回転による変形$$ {\left[\varphi\,\,; \vec N\right]} $$
。シンプルな専用ケース
直接正規直交基底が成り立つ特定のケースの研究から始めましょう。
$$ {(\vec i, \vec j, \vec k)\,} $$
それはそのようなものです$$ {\vec N = \vec k} $$
させて
$$ {\mathbf\Pi \,} $$
に直交するベクトル平面$$ {\vec N} $$
。特定のケースを考慮した計画$$ {\mathbf\Pi \,} $$
ベクトルによって生成される平面です$$ {\vec i} $$
そして$$ {\vec j} $$
。ベクトル$$ {\vec U } $$
ベクトルに分解します$$ {z\vec k } $$
と同一直線上にある$$ {\vec N} $$
これは回転不変であり、ベクトルです$$ {x\vec i + y\vec j} $$
角度回転を受ける$$ {\varphi} $$
計画の中で$$ {\mathbf\Pi} $$
、そして私たちはに適用することができます$$ {x\vec i + y\vec j} $$
平面ベクトル回転の場合に確立される式。したがって、次のように書くことができます。 $$ {z’ = z\,} $$
そしてまた$$ {\left[\begin{matrix}x’\\y’\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\varphi&-\sin\varphi \\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]} $$
上記のようにこれは要約形式で書くことができます:
一般的な場合
ベクトルの場合
$$ {\vec N} $$
直接正規直交基底に対して任意の方向を持ちます$$ {(\vec i, \vec j, \vec k)\,} $$
はコンポーネントを表現するために使用されますが、推論はより複雑になります。上記のように、計画を定義しましょう
$$ {\mathbf\Pi \,} $$
、に直交$$ {\vec N} $$
。ベクトル$$ {\vec U} $$
の合計に分解されます$$ {(\vec U \cdot \vec N) \vec N} $$
、と同一直線上にある$$ {\vec N} $$
回転によって不変であり、 $$ {\vec W = \vec U – (\vec U \cdot \vec N) \vec N} $$
、の要素$$ {\mathbf\Pi \,} $$
そしてそれはこの平面内で回転します。に直接直交するベクトル$$ {\vec W} $$
計画内で同じ基準のものは、 $$ {\vec N \wedge \vec W} $$
、というイメージになります。 $$ {\vec W} $$
角度回転で$$ {\varphi} $$
東$$ {\cos(\varphi)\vec W + \sin(\varphi)\vec N \wedge \vec W} $$
。最後に、の画像は、
$$ {\vec U} $$
回転により次のようになります。 - $$ {\vec V = (\vec U \cdot \vec N) \vec N + \cos(\varphi)\vec W + \sin(\varphi)\vec N \wedge \vec W} $$
そして置き換えると
$$ {\vec W} $$
その価値によって$$ {\vec U – (\vec U \cdot \vec N) \vec N} $$
、次を取得します。 - $$ {\vec V = (\vec U \cdot \vec N) \vec N + \cos(\varphi)(\vec U – (\vec U \cdot \vec N) \vec N) + \sin(\varphi)\vec N \wedge \vec U} $$
したがって、最終的にはオリンデ・ロドリゲスの公式は次のようになります。
上に示した式は、変換のベクトル表現を与えます。
$$ {\vec V } $$
ベクトルの$$ {\vec U } $$
ローテーション内で任意$$ {\left[\varphi\,\,; \vec N\right]} $$
コーナー$$ {\varphi\,} $$
そして軸$$ {\vec N} $$
標準化された ( $$ {n^2_x+n^2_y+n^2_z=1} $$
）。同じ結果を次の等価行列形式で表すことができます。
$$ {\left[\begin{matrix}x’\\y’\\z’\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}M\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]} $$
と ：備考
行列 M は回転行列と呼ばれます。これは、直接直交行列です。これは、その列が直接正規直交基底を形成するか、転置行列がその逆行列に等しく、行列式が 1 であることを意味します。
逆に、任意の回転行列が与えられると、回転角度のコサインを簡単に見つけることができます。実際、行列のトレース(つまり、その対角要素の合計) は次と等しくなります。
$$ {1 + 2 \cos\varphi\,} $$
。さらに、次のことに注意してください。 - $$ {M – {}^t M = 2\sin(\varphi)\begin{bmatrix}0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0\end{bmatrix}} $$
これにより、回転に関連する軸と正弦をすばやく見つけることができます。幾何学的には、
$$ {M \vec U} $$
そして$$ {{}^t M \vec U} $$
ベクトルが菱形の 2 つの辺を形成します。 $$ {(M – {}^t M) \vec U = 2\sin(\varphi) \vec N \wedge \vec U} $$
は回転軸に直交する対角線です。これはオリンデ・ロドリゲスのダイヤモンドです。
クォータニオンの使用
クォータニオンの概念を使用することもできます。確かに、変換を計算できます。
$$ {\vec V\,} $$
ベクトルの$$ {\vec U\,} $$
次の形式で四元数の積を使用します。2 つのベクトル回転の合成
2 つのベクトル回転の合成
$$ {\left[\varphi_1\,\,; \vec N_1\right]} $$
そして$$ {\left[\varphi_2\,\,; \vec N_2\right]} $$
3 次元空間の回転はベクトル回転です。特徴$$ {\left[\varphi_3\,\,; \vec N_3\right]} $$
このうち、 M 3 − t M 3 ( M 3は初期回転行列の積M 2 M 1) 、または各回転を定義する四元数の積、またはそれぞれに関連するロドリゲスの公式を合成することによって決定されます。回転。次のことが分かりました。
- $$ {\cos(\frac{\varphi_3}{2}) = \cos(\frac{\varphi_1}{2})\cos(\frac{\varphi_2}{2}) – \sin(\frac{\varphi_1}{2}) \sin(\frac{\varphi_2}{2}) (\vec N_1 \cdot \vec N_2)} $$
- $$ {\sin(\frac{\varphi_3}{2}) \vec N_3 = \cos(\frac{\varphi_1}{2})\sin(\frac{\varphi_2}{2}) \vec N_2 + \cos(\frac{\varphi_2}{2})\sin(\frac{\varphi_1}{2}) \vec N_1 + \sin(\frac{\varphi_1}{2})\sin(\frac{\varphi_2}{2}) \vec N_2 \wedge \vec N_1} $$