アダマール行列 は、フランスの数学者ジャック アダマールにちなんで名付けられ、係数がすべて 1 または -1 で、行がすべて互いに直交する正方行列です。これらの行列に選ばれた名前は、たとえ最初の体系的な例が James Joseph Sylvester によるものであっても、フランスの数学者ジャック アダマールに敬意を表しています。
次数nの行列Hの場合、列の直交性プロパティは次の形式で書くこともできます。
- $$ {H H^{\mathrm{T}}= n I_n \quad} $$
ここで、 I n は次数nの単位行列です。
例:
- $$ {H_1 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}} $$
- $$ {H_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}} $$
- $$ {H_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}} $$
プロパティ
要素が有界である次数nの実行列M 、
- $$ {|\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}} $$
それがアダマール行列である場合に限ります。
特定の基本演算は、あるアダマール行列を別のアダマール行列に変換します。行または列の置換、行または列の -1 の乗算です。
アダマール行列の転置は依然としてアダマール行列です。
シルベスタービル
アダマール行列の最初の例は、数学者の James Joseph Sylvester によるものです。
この構造は次の性質に基づいています。 H が次数nのアダマール行列の場合、行列
- $$ {\begin{pmatrix} H & H\\ H & -H\end{pmatrix}} $$
は、次数 2 nのアダマール行列です。
この構築を再帰的に適用することにより、ウォルシュ行列またはシルベスター行列のシーケンスを構築します。
- $$ {H_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},} $$
- $$ {H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},} $$
then (クロネッカー積表記を使用)
- $$ {H_{2^k} = \begin{bmatrix} H_{2^{k-1}} & H_{2^{k-1}}\\ H_{2^{k-1}} & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},} $$
シルベスター法によって構築された行列には、特定の興味深い特性があります。これらは、トレースがゼロの対称行列です。最初の列と最初の行の項目はすべて正の値です。 1 つおきの行または列では、項目の半分が陽性です。これらの行列はウォルシュ関数と密接に関連しています。
アダマール行列の次数
アダマール行列の次数は必ず 1、2、または 4 の倍数です。
シルベスターの構築により、任意の自然数kに対して次数 2 kのアダマール行列が存在することが示されました。
次数 12 および 20 のアダマール行列は、アダマールによって構築されました。レイモンド・ペイリーは後に、 q が3 の4を法とする素数のべき乗である場合に、次数q +1 のアダマール行列を構築する方法を実証しました。彼はまた、 qの素数べき乗を使用して次数 2*( q +1) の行列を構築しました。彼の方法は有限体を使用します。アダマール行列を構築するための他の方法が現在知られている。
アダマール予想
アダマール行列に関する最も重要な未解決の問題は、アダマール行列が存在するかどうかです。アダマールの予想によれば、
- 次数 4 kのアダマール行列は、すべての正の整数kに対して存在します。
2004 年 6 月 21 日に Hadi Kharaghani と Behruz Tayfeh-Rezaie が次数 428 のアダマール行列の発見を発表した後、現在知られているアダマール行列の最小次数は 668 です。
アダマールの予想はむしろペイリーに帰すべきである。
応用
アダマール行列は、リードミュラーなどの修正コードで使用されたり、感覚分析計画を実行したりするために使用されます。
