導入
確率 (数学、統計) では、確率変数の次数n>0のモーメントを定義します。
$$ {m_n = \mathbb{E}[~X^n~] \,} $$
。
瞬間の概念
数学、特に確率計算におけるモーメントの概念は、物理学におけるモーメントの概念に由来しています。
または関数
$$ {f : I \to \R} $$
区間I (点に縮小されない) にわたって継続します。 $$ {\R} $$
。自然数nが与えられると、 fのn番目のモーメントは次のように定義されます (存在に依存します)。 - $$ {m_n(f)=\int_I x^n\,f(x)\,dx.} $$
注: 与えられた自然数nに対して、次数nのモーメントが存在するI上の連続関数の集合は実ベクトル空間であり、アプリケーションは
$$ {m_n : f \mapsto m_n(f)} $$
はこのベクトル空間上の線形です。中心にある瞬間
$$ {\mu_n = \mathbb{E}[~(X-\mathbb{E}(X))^n~] \,} $$
。
瞬間の推定
モーメントが存在する場合、次のkのモーメントに対して次の推定量を使用することがよくあります。
- $$ {\hat m^k= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!} $$
サンプルから
$$ {X_1, X_2, \cdots, X_n} $$
。この推定量には偏りがないことがわかります。
モーメントを再帰的に決定するための公式
定義することで
- 原点に対する相対的な瞬間 (英語では通常の瞬間または生の瞬間):
$$ {m_k(X) \equiv \mathbb{E}\left[X^k\right]\,} $$
。
- 一般的に注目される中心的な瞬間$$ {\mu_k(X)\,} $$これらは次のように定義されます。
$$ {\mu_k(X) \equiv \mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]\,} $$
k 以下の通常の次数モーメントから中心次数 k のモーメントを計算できる公式 (二項式に似た) があり、またその逆も可能です。以下にいくつかの例を示します (次数 4 まで)。
- $$ {\mu_2 = m_2 – m^2_1\,} $$
- $$ {\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2\,m^3_1\,} $$
- $$ {\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 – 3m^4_1\,\!} $$
- そして ：
- $$ {m_2 = \mu_2 + m^2_1\,} $$
- $$ {m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,} $$
- $$ {m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,} $$
素晴らしい瞬間
特定の瞬間は特定の名前で知られています。これらは一般に、確率変数を特徴付けるために使用されます。
- 注文の瞬間は変数の 1 つです。 $$ {m_1 = \mathbb{E}[X] \,} $$(多くの場合μ 、場合によってはmで表されます) は期待値に対応します
- 中心にある変数の次数 2 のモーメント: $$ {\mu_2 = \sigma^2 = \mathbb{E} \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,} $$( V(X)と表記) は分散に対応します。
- 中心縮小変数の次数 3 のモーメント: $$ {\gamma_1 = \frac {\mu_3} {\sigma^3} = \mathbb{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,} $$は非対称係数に相当します。
- 中心縮小変数の次数 4 のモーメント: $$ {\beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,} $$尖度に相当します。
瞬間の問題
機能が継続しているかどうかを自問してみましょう
$$ {f : I \to \R} $$
すべての瞬間がどの瞬間に存在するかは、その瞬間の順序によって決まります。この問題はモーメントの問題と呼ばれます。言い換えると、2 つの連続関数とします。
$$ {f, g : I \to \R} $$
それぞれの自然数nに対して次数nのモーメントが認められます。もし、すべてのために$$ {n \in \mathbb{N},\; m_n(f)= m_n(g)} $$
、 f = gであると断言できますか?- ハウスドルフの定理によると、 Iがセグメントの場合、答えは肯定的です$$ {[a,\, b]} $$(つまり、閉じていて境界がある場合)。
関数h = f − g はI上で連続であり、すべてのnに対してmn(h) = mn ( f ) − mn ( g )であるため、そのすべてのモーメントはゼロです。
積分の線形性から次のことが推測されます。
$$ {\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = 0} $$
実多項式P が何であっても;確かに、もし$$ {P = \sum_{k = 0}^p a_k\, X^k} $$
、 それで$$ {\int_a^b P(x)\,h(x)\,dx = \sum_{k = 0}^p a_k\, m_k(h) = 0} $$
。しかし、ワイエルシュトラスの定理によれば、任意の連続関数に対して、
$$ {[a,\, b] \to \R} $$
に一様に収束する一連の (実) 多項式が存在します。 $$ {[a,\, b]} $$
この機能に。したがって、 hに一様に収束する多項式のシーケンス( P n )が存在します。 $$ {[a,\, b] } $$
。ということで、残りの商品は$$ {(P_n\, h)} $$
h 2に一様に収束します$$ {[a,\, b]} $$
そしてそれは次のとおりです$$ {\int_a^b [h(x)]^2\,dx = \lim_{n \to +\infty} \int_a^b P_n(x)\,h(x)\,dx = 0} $$
。hがセグメント上で連続しているため、
$$ {[a,\, b]} $$
、これはh = 0 、つまりf = gであることを証明します。- 一般的な場合、答えは否定的です。以下は、ウィリアム・フェラーによって与えられた確率論的な反例です。機能を考慮します$$ {f :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R^+} $$によって定義される$$ {f(x) = \frac{1}{x\, \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\, (\ln x)^2}} $$(対数正規の法則の密度)、そのすべてのモーメントが存在します。
- (変数を変更することによって) 任意の自然数nに対して、 $$ {\int_0^{+\infty} x^n f(x) \sin(2 \pi \ln x)\, dx = 0} $$。
- すべてのために$$ {\alpha \in \R} $$と定義します。$$ {g_\alpha :\, ]0,\, +\infty[\, \to \R} $$による$$ {g_\alpha(x) = f(x)\, [1 + \alpha \sin(2 \pi \ln x)]} $$。
- それで：何でも$$ {\alpha \in \R} $$そして$$ {n \in \mathbb{N}} $$, mn ( gα ) = mn ( f )ですが、$$ {g_\alpha \neq f} $$出来るだけ早く$$ {\alpha \neq 0} $$。
- 注: すべてについて$$ {\alpha \in \R} $$、$$ {\int_0^{+\infty} g_\alpha(x)\, dx = 1} $$なぜなら、 m 0 ( g α ) = m 0 ( f )だからです。ただし、$$ {\alpha \in [-1,\, +1]} $$、 g α は正の値を持ちます。この場合、 g αは次の確率密度です。$$ {\R^\star_+\,} $$、 fとは異なります。$$ {\alpha \neq 0} $$、そのモーメントはすべて存在し、 fのモーメントと同じです。これは、対数正規分布がモーメントによって決定されないことを証明します。
