長さの収縮について詳しく解説

導入

特殊相対性理論では、長さの短縮は、特に相対性理論により、移動する物体の長さの測定値が、物体が静止している基準系での測定値と比較して短縮される法則を指定します。ある参照フレームから別の参照フレームへの同時性。ただし、速度に平行な長さの測定値のみが短縮され、速度に垂直な測定値は基準フレーム間で変化しません。

一般相対性理論では、長さの収縮も予測されます。この枠組みでは、その原因は特殊相対性理論の場合と同じか、重力または加速度のいずれかです。

特殊相対性理論では

物体の長さを測る

どのような時空基準枠においても、物体を測定するということは、固定され既知の距離だけ離れて配置され、同時にこの物体の両端に接触する 2 つの検出器を有することを意味します。この場合、物体の長さは 2 つの検出器間の距離になります。

2 つのベンチマークを考慮する

そして相互に一様な直線移動を行う場合、不動性と同時性は基準系を基準とする場合、一方の長さの尺度に見えるものは、もう一方の長さではありません。

時空間隔の不変性は次のように記述されます。

$$ {\Delta s^2\, =\, c^2\Delta t^2 – \Delta l^2 =\, c^2\Delta t’^2 – \Delta l’^2 \,} $$

、

または

$$ {\ \Delta t} $$

は時間間隔であり、

$$ {\ \Delta l} $$

基準枠内で特定された 2 つのイベントを隔てる (空間) 距離

$$ {\mathbb R} $$

。

2 つの検出器がある場合、考慮される 2 つのイベントは、それぞれの一端との接触です。

基準フレームで測定した場合

、長さの測定のために、固定された検出器によってそれぞれの端が同時に検出される座標を考慮します。 これらの座標の決定と、 したがって、検出器間の距離は端の間で測定された距離になります。

から見た

座標は同時に検出されないようですので、 。次に推測しますでも長さはは空間距離であり、単位は 、端と検出器の間の接触である 2 つのイベント間の距離。物体と検出器は動いており、この基準系では接触が同時に発生しないため、必ずしも物体の端の間の長さではありません。不平等ここで得られる値は、必ずしも物体の長さの 2 つの測定値間の比較であるとは限りません。

不動かどうか

オブジェクトが基準フレーム内で静止していると仮定します

、そして、リファレンスとの比較 、のスピードで翻訳中ですその長さの方向に。標準速度であることを思い出してください。 に比べと等しいに比べ 。

リポジトリ内

物体が動かない場合、そこで真の測定値、つまり適切な長さを測定すると考えることができます。

それで

時間間隔を置いて、それぞれの端が存在できる場所が存在する 。この位置に検出器が配置されていると仮定し、「検出器と端の 1 つが出会う」という 2 つのイベントを考えます。

• で
  $$ {\mathbb R’} $$
  : 明らかに、
  $$ {\ \Delta t’ = \Delta l’ /v} $$
  、 または
  $$ {\ \Delta l’} $$
  は、この基準フレームで測定された物体の長さであり、もちろん、これら 2 つのイベント間の空間距離はゼロです。
• で
  $$ {\mathbb R} $$
  : この同じ測定時間間隔は
  $$ {\ \Delta t = \Delta l /v} $$
  、 または
  $$ {\ \Delta l} $$
  は、この基準フレームで測定された物体の長さ (したがって、適切な長さ) ですが、一方、これら 2 つの検出は長さの間隔で行われます。
  $$ {\ \Delta l} $$
  なぜなら、この基準系では物体は静止しており、移動するのは検出器であるからです。

時空間隔の不変性により、次のようになります。

それで、いくつかの計算の後、 したがって、 。物体の実際の長さに比べて、長さ（の測定値）は縮みます。

巻尺でメーターを測る

各基準系に (静止した) メーターがあり、他の基準系で静止し、相対速度の方向に向けられたメーターの長さを測定するとします。

2 番目の段落の推論に従って、各基準系で、他の基準系のメーターが静止しているものよりも小さいことがわかります。これはパラドックスですか?いいえ。

から測定を行う場合を考えてみましょう。

$$ {\mathbb R’} $$

。測定できるようにするには、メーターの端の座標を決定します。

$$ {\mathbb R} $$

リポジトリ内で同時に存在する

$$ {\mathbb R’} $$

しかし、同時性の相対性理論によれば、これらの決定は、から見ると同時であるようには見えません。

$$ {\mathbb R} $$

どこに観察者がいるのか

$$ {\mathbb R’} $$

このメーターに対して移動するさまざまな時間における端の座標を決定します (メーターはまだ静止しています)

$$ {\mathbb R} $$

）。したがって、で行われた測定は、

$$ {\mathbb R’} $$

から見ると正しく行われたように見えません

$$ {\mathbb R} $$

: 各基準系では、この基準系から見たときは測定が正しく行われていますが、別の基準系から見たときは正しく行われたとは判断されません。したがって、ある基準フレームから、別の基準フレームで行われた測定に異議を唱えることができます。つまり、測定の有効性は、それが行われた基準フレームに関連しています。

速度に対して垂直な長さの場合

移動方向に垂直な長さは、両方の基準系で同じ寸法になります。

これを確信するには、上部レールと下部レールの間にある引き戸が基準系内で静止しており、同じ基準系内で加速されることを単純に想像してください (スライド レールは非常に長い)。それらは動かず、常に同じ距離にあり、ドアはおそらく非常に速い速度でアニメーションしており、単にそれらを追いかけているだけでレールから外れることはありません。ドアの高さ、つまり速度に垂直な長さは、上部レールと下部レールの間の距離に等しいままであるため、ドアが通過するのが見える基準枠内では、ドアが静止している瞬間と比較して減少しません。

ローレンツ変換を使用する

$$ {\,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t = \gamma \left( c \Delta t’ – \beta \Delta x’ \right)\\ \Delta x = \gamma \left( \Delta x’-\beta c \Delta t’ \right) \\ \Delta y = \Delta y’ \\ \Delta z = \Delta z’ \end{matrix} \right. \, } $$

リポジトリ内での測定の場合

、 我々は持っていますを取得します。

また、他の参照系から見た端の決定が同時ではないことも示します。

体積の収縮

慣性基準系に対する体積の平行移動は、測定が当該基準系内で行われ、次のような関係にある場合、動きと同じ方向を持つこの体積の寸法が係数γ ^{− 1}だけ縮小されることを意味します。安静時の体積を測定したものです。動きに対して垂直な寸法の測定は収縮されません。これらの異なる測定値間の積により、これは、体積も同じ係数γ ^{− 1}で収縮することを意味します。