アークによる接続性のトポロジカルな概念は、接続性の概念を改良したものです。任意の 2 点を常にパスで接続できる場合、位相空間は円弧で接続されていると言われます。実際、つながりは基本的な概念です。ただし、エッジによる接続はより直観的であり、多くの場合、接続を証明する最良の方法です。
パス
円弧による接続を定義する前に、いわゆる「パスによる接続」を定義する必要があります。私たちが置かれている状況に応じて、特定の道を考えることができます。
位相空間内のパス
もし
$$ {E \,\!} $$
は位相空間であり、 $$ {x \,\!} $$
そして$$ {y \,\!} $$
の2点です$$ {E \,\!} $$
を元のパスと呼びます$$ {x \,\!} $$
そして終わり$$ {y \,\!} $$
どのアプリケーションも継続します$$ {\gamma : [0,1] \rightarrow E \,\!} $$
のような$$ {\gamma(0) = x \,\!} $$
そして$$ {\gamma(1) = y \,\!} $$
。と言われています
$$ {x \,\!} $$
そして$$ {y \,\!} $$
元のパスが存在する場合にのみ接続されます$$ {x \,\!} $$
そして終わり$$ {y \,\!} $$
。プロパティ: 関係 ”
$$ {x \,\!} $$
に接続されています$$ {y \,\!} $$
” は等価関係です: - $$ {x \,\!} $$に接続されています$$ {x \,\!} $$;
- (一定のパスのおかげで$$ {\forall t \in [0,1],\, \gamma(t)=x \,\!} $$)
- もし$$ {x \,\!} $$に接続されています$$ {y \,\!} $$それで$$ {y \,\!} $$に接続されています$$ {x \,\!} $$;
- (逆の道のおかげで$$ {\forall t \in [0,1],\, \bar{\gamma}(t) = \gamma (1-t)\,\!} $$)
- もし$$ {x \,\!} $$に接続されています$$ {y \,\!} $$そして$$ {y \,\!} $$に接続されています$$ {z \,\!} $$それで$$ {x \,\!} $$に接続されています$$ {z \,\!} $$;
- （もし$$ {\gamma_1 \,\!} $$接続します$$ {x \,\!} $$もっている$$ {y \,\!} $$そして$$ {\gamma_2 \,\!} $$接続します$$ {y \,\!} $$もっている$$ {z \,\!} $$次に複合パス$$ {\gamma = \gamma_2 \star \gamma_1 \,\!} $$によって定義される$$ {\gamma(t) = \gamma_1(2t) \,\!} $$もし$$ {0 \leq t \leq \frac{1}{2} \,\!} $$そして$$ {\gamma(t) = \gamma_2(2t-1) \,\!} $$もし$$ {\frac{1}{2} \leq t \leq 1 \,\!} $$接続します$$ {x \,\!} $$もっている$$ {z \,\!} $$)
正規化されたベクトル空間内のパス
周囲のスペースが
$$ {E \,\!} $$
は標準化されたベクトル空間であるため、点を接続するパスの性質を指定できます。- 直線的なパス: パスは、それが記述できる場合にのみ直線的であると言われます。 $$ {\forall t \in [0,1],\, \gamma(t) = x + t \vec{u} \,\!} $$。$$ {\vec{u} \,\!} $$の方向ベクトルと呼ばれます$$ {\gamma \,\!} $$。パスのサポートは線分になります。
- クラスパス$$ {C^k \,\!} $$: パスはクラスにすることができます$$ {C^k \,\!} $$と$$ {k \geq 0 \,\!} $$。実際、すべてのパスはクラスです$$ {C^0 \,\!} $$つまり連続的ですが、より高いレベルの規則性を持たせることもできます。クラスパス$$ {C^k \,\!} $$と$$ {k \geq 1 \,\!} $$の場合はより規則的であると言われます$$ {\forall t \in ]0,1[ ,\, \gamma ‘ (t) \neq 0 \,\!} $$。クラスへの通常のパス$$ {C^{\infty} \,\!} $$をスムーズパスといいます。
アークによる接続性
これらのさまざまなタイプのパスにより、場合に応じて円弧によってさまざまなタイプの接続を定義できるようになります。
意味
任意の 2 点をこの部分に描かれたパスで接続できます。
位相空間
$$ {E \,\!} $$
のいずれかの点のペアの場合にのみ、円弧によって接続されていると言われます。 $$ {E \,\!} $$
パスでつながっています。一部
$$ {A \,\!} $$
の$$ {E \,\!} $$
のいずれかの点のペアのみが円弧によって接続されていると言われます。 $$ {A \,\!} $$
に残ったパスでつながっている$$ {A \,\!} $$
。一部
$$ {A \,\!} $$
正規化されたベクトル空間の は、多角形の円弧(それぞれ円弧によって接続されている) によって接続されていると言われます。 $$ {C^k \,\!} $$$$ {A \,\!} $$
多角形のパス (それぞれのクラス)で接続できます。 $$ {C^k \,\!} $$直線円弧による接続性は凸性に対応します。
参考資料
- Connexitat per arcs – catalan
- Obloukově souvislá množina – tchèque
- Path-connected space – anglais
- Espacio conexo por caminos – espagnol
- Conexo por camiños – galicien
- מרחב קשיר מסילתית – hébreu