導入
パス積分は関数積分です。つまり、積分は関数であり、通常の積分のように和は実数 (または複素数) ではなく関数に渡されます。したがって、ここでは無限次元の積分を扱っています。したがって、経路積分(関数積分) を、物理空間の経路上で計算される通常の積分 (数学者が曲線積分と呼ぶ) から注意深く区別します。
1942 年 5 月に擁護された、ラグランジュに基づく量子力学の定式化に関する論文で、物理学に経路積分を導入したのはリチャード・ファインマンでした。第二次世界大戦のため、これらの結果は 1948 年まで発表されませんでした。この数学的ツールは場の量子論への一般化により理論物理学で急速に確立され、特に標準的な定量化手順よりも単純な非アーベルゲージ理論の定量化が可能になりました。
さらに、数学者のマーク・カックは、1920 年代にノルベルト・ウィーナーによって得られた結果からインスピレーションを得て、ブラウン運動の理論的記述について同様の概念を開発しました。この場合、ウィーナーの積分であるファインマン・カックの公式について話します。測定。
経路積分の概念の起源
プリンストン大学でウィーラーのもとで大学院生だった頃、若いファインマンは、必ずしもハミルトニアンを持たないシステムを記述できるように、ラグランジアンに基づく定量化手法を模索していました。彼の主な動機は、 Wheeler とともに開発した、距離での作用に基づく古典電気力学の新しい定式化を定量化することです。
1941 年の春、彼は当時プリンストンを訪れていたハーバート ジェーレに会い、ナッソーの居酒屋での夜に、ラグランジアンからの定量化を特に論じたディラックの論文の存在を彼に告げました。 Jehle は、この定式化により、ハミルトニアンに基づくものよりもはるかに簡単な共変相対論的アプローチが可能になるとファインマンに説明しました。翌日、2人の物理学者はディラックの論文を調べるために図書館に行きます。彼らは特に次の文を読みました。
この式では、大きさは
$$ {S[q_2(t + \epsilon) ,q_1(t)] \ = \ \int_{t}^{t + \epsilon} L(q,\dot{q}) \ dt \ = \ L \left( q_1, \frac{q_2-q_1}{\epsilon} \right) \ \epsilon\,} $$ |
ディラックの「アナログ」の意味を理解するために、ファインマンは非相対論的な質量粒子の場合を研究します。
$$ { L(q,\dot{q}) \ = \ \frac{m}{2} \dot{q}^2 \ – \ V(q) } $$ |
私たちは次のことを知っています:
次に、ファインマンは比例関係を仮定します。
$$ {\psi(q_2,t + \epsilon) \ = \ A \ \int dq_1 \, \exp \, \left( \, i \, \frac{S[q(t)]}{\hbar} \, \right) \ \psi(q_1,t)} $$ |
または
$$ {\left[ \, – \ \frac{\hbar^2}{2m} \ \frac{\partial^2 ~~}{\partial q^2} \ + \ V(q) \, \right] \ \psi(q,t) \ = \ i \, \hbar \ \frac{\partial ~~}{\partial t}\psi(q,t) } $$ |
未知の定数Aが次と等しいという条件で、
$$ {A \ = \ \sqrt{\frac{m}{2\pi \hbar i t}}} $$ |
1946 年の秋、プリンストン大学創立 200 周年の際、ファインマンはディラックと会い、次のような短いやりとりが行われました。
- – ファインマン: 「これら 2 つの量が比例することをご存知ですか? »
- – ディラック: 「そうですか? »
- – ファインマン: 「はい。 »
- – ディラック: 「ああ！面白いですね。 »
この簡潔な応答により、議論は終了します…歴史的な詳細については、シュウェーバーの記事を読んでみてください。
