滞在時間の分布 – 定義

導入

滞留時間分布という表現はプロセスエンジニアリングで使用されます。滞留時間分布は、化学反応器の流体力学を特徴付け、研究対象の設備 (連続反応器または管型反応器) を最もよく定義する反応器モデル、およびモデルの理想的な反応器からの偏差を決定することを可能にするモデルです。この特性は、既知の反応速度論を使用して反応のパフォーマンスを計算できるようにするために重要です。

設備のパフォーマンスを分析する際に滞留時間分布を使用する原則は、1935 年には MacMullin と Weber の論文で述べられていました。ただし、考えられる分布のほとんどを定義したPV Danckwerts教授の研究を待たなければなりませんでした。彼は、この種の問題に対処するために今日でも使用されている命名法を確立しました。

一般性

2 種類のモデルで開放型反応器とその流体力学を記述します。

• ピストン型流れの管型反応器モデル
• 完全な混合を実現する撹拌または連続反応器モデル

これら 2 つのモデルを組み合わせることで、反応器カスケードやリサイクルを伴う反応器など、最も複雑なシステムをモデル化することができます。ただし、これらのモデルは、いくつかの仮定に基づいて構築されています。連続反応器からの流入流の混合は、反応媒体と完全かつ瞬間的に行われると考えられ、管状反応器では、流れはピストン (逆混合ではない) として定義されます。 ）。しかし、現実には、特に一般に１～数十ｍ ³のサイズを有する工業用反応器では、このような条件を得るのは不可能である。したがって、滞留時間の分布により、設備が理想モデルからどの程度逸脱しているかを判断し、この非理想性を補うためにプロセスの操作に必要な修正を行うことが可能になります。

DTS の実験による決定

滞留時間分布を決定するには、既知の関数に従ってトレーサー (色素 (比色測定)、塩 (伝導度測定)、または放射性元素 (放射能) など) がシステムに導入され、関数 d の変化が出力で測定されます。 ‘注射。選択したトレーサーは媒体の物理的特性 (同じ密度、同じ粘度) を変更してはなりません。また、トレーサーの導入によって流体力学的条件が変更されてもなりません。

滞留分布関数を確立するための原理は、施設の出口での濃度を測定し、この濃度を総濃度で割って分数を取得することです。数学的にこれは次のようになります

$$ {E(t) = \frac{C(t)}{\int\limits_{0}^\infty C(t) dt} \qquad (8)} $$

通常、「ステップ」と「パルス」という 2 つの導入機能を使用します。他の関数も可能ですが、E(t) を取得するにはデコンボリューションが必要です。

ステップ注入

反応器入口におけるトレーサーの濃度は突然 0 から C ₀に変化します。反応器出口でのトレーサーの濃度が測定され、初期濃度 C ₀ (一般に知られている) で割ると、0 と 1 の間の無次元曲線 Fが得られます。

$$ {F(t) = \frac{C(t)}{C_0} \qquad (9)} $$

マテリアルバランスにより、次の関係が定義できます。

$$ {F(t) + \tau \cdot I(t) = 1 \qquad (10)} $$

それは与える

$$ {I(t) = \frac {(1-F(t))}{\tau} \qquad (11)} $$

関係式 (7) と (10) を使用すると、次のようになります。

$$ {F(t) = \int\limits_{0}^t E(t)\, \mathrm dt \qquad (12)} $$

それは与える

$$ {E(t) = \frac {dF(t)}{dt} \qquad (13)} $$

平均と分散の値は関数 F(t) から推定することもできます。

$$ {\overline {t} = \int\limits_{0}^\infty t \cdot E(t)\, \mathrm dt = \int\limits_{0}^1 t\, \mathrm dF(t) = -\int\limits_{0}^1 t\, \mathrm d(1-F(t)) = \int\limits_{0}^\infty (1-F(t))\, \mathrm dt \qquad (14)} $$

$$ {\sigma^2 = \int\limits_{0}^\infty (t-\overline {t})^2 \cdot E(t)\, \mathrm dt = \int\limits_{0}^1 (t-\overline {t})^2\, \mathrm dF(t) = \int\limits_{0}^1 t^2\, \mathrm dF(t) – \overline {t}^2 = 2 \int\limits_{0}^\infty t(1-F(t)) \, \mathrm dt – \overline {t}^2 \qquad (15)} $$

パルスインジェクション

この注入方法は、ディラック関数に近づくように、反応器入口に非常に短い間隔ですべてのトレーサーを導入することから構成されます。実際には、注入時間は平均滞留時間に比べて短くする必要があります。反応器出口でのトレーサーの濃度が測定され、仮想濃度 C ₀ (注入されたトレーサー n ₀のモル数n 0 を反応器の体積で割ったもので定義される) で除算され、0 と 0 との間の無次元曲線 Cが得られます。および 1:

$$ {\mathbf{C} = \frac{C(t)}{C_0} \qquad (16)} $$

物質収支により、次のことが得られます。

$$ {E(t) = \frac {\dot V}{n_{0}} \cdot C(t) = \frac {1}{\tau} \frac {C(t)}{\bar C_{0}} = \frac {1}{\tau} \mathbf{C} \qquad (17)} $$