導入
数学では、リー型の群G(k)は、体kの値を持つ還元線形代数群Gの有理点の群 (必ずしも有限ではない) です。有限単純群の分類は、有限リー型の群が単純有限群の大部分を形成することを示しています。特殊なケースには、古典的なグループ、 Chevalley グループ、 Steinberg グループ、およびスズキ-リー グループが含まれます。
クラシックグループ
最初のアプローチは、有限場およびその他の場にわたるいわゆる古典群の定義と詳細な研究です。 LE Dicksonの時代からJean Dudonneの研究に至るまで、これに関して多くの研究が行われてきました。たとえば、エミール・アルティンは、偶然のケースを分類する目的で、そのようなグループの順序を研究しました。
古典的な群は、大まかに言うと、特殊な線形、直交、シンプレクティック、またはユニタリ グループです。これらには、中心を介して派生サブグループまたは商を取得することによって得られる、いくつかの小さなバリエーションがあります。これらは、実数に対して構築されたのとほぼ同じ方法で、有限フィールド (またはその他のフィールド) に対して構築できます。これらは次のシリーズに対応します。
- $$ {A_n\,} $$、$$ {B_n\,} $$、$$ {C_n\,} $$、$$ {D_n\,} $$、$$ {{}^2\!A_n\,} $$、$$ {{}^2\!D_n\,} $$シュバレーとスタインバーグのグループ。
スタインバーグのグループ
Chevalley の構築では、既知の古典群をすべて提供するわけではありません。ユニタリー群と分離されていない直交群は省略されています。スタインバーグは、これらのグループといくつかの新しいファミリーを与えるシュバレーの構造の修正を発見しました。その構築は、一般的な線形群からのユニタリー群の通常の構築に似ています。複素数上の一般線形群には、可換な 2 つの自己同型があります。1 つは逆元の転置によって与えられる「図の自己同型」、もう 1 つは複素共役をとることによって与えられる「体の自己同型」です。ユニタリー群は、これら 2 つの自己同型の積の不動点の群です。同様に、多くのシュヴァレー群は、ディンキン図の自己同型によって引き起こされる「図形自己同型」と、有限体の自己同型によって引き起こされる「体の自己同型」を持っています。スタインバーグは、ダイアグラム自己同型と体の自己同型の積から固定点を取得することによって群の族を構築しました。これらは与えた
- 統一グループ$$ {{}^2\!A_n\,} $$次数 2 の自己同型から来ています$$ {A_n\,} $$;
- 新しい直交群$$ {{}^2\!D_n\,} $$次数 2 の自己同型から来ています$$ {D_n\,} $$;
- 新しいシリーズ$$ {{}^2\!E_6\,} $$、次数 2 の自己同型から来ています。$$ {E_6\,} $$;
- 新しいシリーズ$$ {{}^3\!D_4\,} $$、次数 3 の自己同型から来ています。$$ {D_4\,} $$。
(タイプのグループ
シュバレーのグループ
この理論は、代数群の理論と、1950 年代半ばのリー代数に関するクロード シュヴァレーの研究によって明らかにされ、それによってシュヴァレーの群概念が分離されました。 Chevalley は、すべての複雑な単純リー代数 (またはむしろその包絡代数) に対してChevalley 基底(一種の整数形式) を構築しました。これは、整数上の対応する代数群を定義するために使用できます。特に、彼はそれらの点を有限の身体の値として受け取ることができました。リー代数の場合
- $$ {E_6\,} $$、$$ {E_7\,} $$、$$ {E_8\,} $$、$$ {F_4\,} $$そして$$ {G_2\,} $$。 (これらのいくつかはディクソンによってすでに構築されていました。)
