一般線形群 – 定義

数学では、体Eの次数nの一般的な線形群は、行列乗算を備えたE内の係数を持つ可逆n × n行列の群です。これを GL _n ( E ) または GL _n (ここでは GL ( n , E )) と表します。これらの群は群表現理論において重要であり、対称性や多項式を研究するときに現れます。

GL( n , E ) とその部分群は、「線形群」または「行列群」と呼ばれることがよくあります。 SL( n , E ) で示され、行列式 1 を持つ行列で構成される特別な線形群 は、GL( n , E ) の部分群です。

説明

n ≥ 3 の場合、 GL( n , E ) はアーベル関数ではありません。

一般的な線形群

ベクトル空間の

U が体E上のベクトル空間である場合、 U の一般線形群を呼び、関数の合成を備えたUの自己同型群である GL( U ) または Aut( U ) を表します。

Uの次元がnの場合、 GL( U ) と GL( n , E ) は同型です。この同型写像は標準的ではなく、 Uの基底の選択に依存します。この基底が選択されると、 Uの自己同型性は同型性を決定する可逆n × n行列で表すことができます。

実数と複素数について

本体Eが

$$ {\mathbb R} $$

(実数) または

$$ {\mathbb C} $$

(複素数) の場合、 GL( n ) は次元n ²の実数または複素数のリー群になります。実際、 GL( n ) は非ゼロの行列式を含む行列で構成されます。連続 (および多項式) マップである行列式である GL( n ) は、次元n ²のさまざまなn × n行列の空ではないサブセットです。

GL( n ) に関連付けられたリー代数は、実数または複素数のn × n行列によって形成されます。

GL( n ,

$$ {\mathbb C} $$

) は単純に接続されており、GL( n ,

$$ {\mathbb R} $$

) には、正の行列式の行列と負の行列式の行列という 2 つの関連成分があります。正の行列式を持つ実数n × n行列は、GL( n ,

$$ {\mathbb R} $$

)、GL ⁺ ( n 、

$$ {\mathbb R} $$

）。後者も次元n ²のリー群であり、同じリー代数を持ちます。それは単に関係があるだけです。

有限体について

E がq要素の有限体である場合、GL( n , E ) の代わりに GL( n , q ) と書くことがあります。 GL( n , q ) は、( qn – 1)( qn ^– q )( qn ^– q2 )…( qn ^– qn ^-1 ) 要素の有限群です (行列の可能な列の^数を数えることによって証明でき^ます) : 最初の列はゼロ列を除く任意の列にすることができ、2 番目の列は最初の列の倍数を除く任意の列にすることができます。など)

線形特殊グループ

SL( n , E ) で示される、体Eの次数nの特別な線形群は、行列式 1 を持つ行列の群です。 SL( n , E ) は、 GL( n , E ) の区別された部分群です。

E ^× ( Eからゼロ要素が取り除かれる) を考慮すると、行列式は群準同型です。

det: GL(n,E) $$ {\rightarrow} $$

このアプリケーションの核となるのは線形特殊グループです。第一同型定理によれば、 GL( n , E )/SL( n , E ) はE ^×と同型です。実際、 GL( n , E ) は、 SL( n , E ) とE ^×の半直積と考えることができます。

GL( n , E ) = SL( n , E )?え^×

Eが

特殊な線形群 SL( n ,

線形射影群

物体E上のベクトル空間Uの線形射影群は、商群 GL( U )/Z( U ) です。 PGL( U )、PSL( U )などの表記。は、一般的な線形群に使用されるものと類似しています。

この名前は射影幾何学に由来しており、同次座標( x ₀ : x ₁ : …: x _n ) に作用する射影群がこの幾何学の基礎となる群です (したがって、群 PGL( n +1, Eを考慮する必要があります) ) 次元nの射影空間の場合)。したがって、線形射影群は、メビウス群と呼ばれることもあるメビウス変換の PGL(2) 群を一般化します。

有限体E _qの特別な線形射影群 PSL( n , E _q ) は、 L _n (q)と表記されることもあります。 L ₂ (2) とL ₂ (3) を除き、 n が少なくとも 2 に等しい場合、それらは有限単純群になります。

サブグループ

対角線

非ゼロの行列式を持つ対角行列のセットは、 ( E ^× ) ⁿと同型の GL( n , E ) のサブグループを形成します。体の中で

スカラー行列は、単位行列と定数の積である対角行列です。ゼロ以外のスカラー行列のセットは Z( n , E ) と呼ばれることもあり、 E ^×と同型の GL( n , E ) のサブグループを形成します。このグループは GL( n , E ) の中心です。それは不変かつアーベルです。

SZ( n , E ) で示される SL( n , E ) の中心は、単に行列式 1 を持つスカラー行列のセットです。これは、1 の n 乗根のグループと同型です。

クラシック

古典的な群は、 Uの内積の一部を保存する GL( U ) の部分群です。例えば ​​：

• 直交群O( U )。これはU上で対称双線形形式を保存します。
• シンプレクティック群 Sp( U )。 U上で反対称双線形形式を保存します。
• ユニタリー群 U( U )。これはU上のエルミート形式を保存します ( Eが
  $$ {\mathbb C} $$
  ）。

これらの群はリー群の重要な例です。