ガウスの補題 (リーマン幾何学) – 定義

導入

リーマン幾何学では、ガウスの補題により、指数写像を動径等値図として理解することができます。以下では、 M をレヴィ-チヴィタ接続を備えたリーマン多様体とします (つまり、特に、この接続は対称であり、 Mの計量と互換性があります)。

導入

M上で 指数マップを定義しました。

$$ {p\in M} $$

による

$$ { \exp_p:T_pM\supset B_{\epsilon}(0) \longrightarrow M,\qquad v\longmapsto \gamma(1, p, v), } $$

ここで、 exp _{p が}適切に定義されることを保証するために、定義の領域T _p M を半径ε > 0 、中心0の球B _ε (0)に制限する必要があり、ここでγ(1, p , v )は点です。

$$ {q\in M} $$

点を通過する独自の測地線γ をたどることで到達します

$$ {p\in M} $$

スピードを持って

$$ {\frac{v}{\vert v\vert}\in T_pM} $$

遠くから

$$ {\vert v\vert} $$

。 exp _{p が}局所微分同相写像であることは簡単にわかります。

$$ {0\in B_\epsilon(0)} $$

。確かに、どちらか

$$ {\alpha : I\rightarrow T_pM} $$

α(0): = 0およびα'(0): = vとなるようなT _p Mの微分可能な曲線。として

$$ {T_pM\cong \mathbb R^n} $$

、 α( t ): = v t を選択できることは明らかです。この場合、 vに適用される0における指数関数の微分の定義により、次のようになります。

$$ { T_0\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p(vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\gamma(1,p,vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}= \gamma'(t,p,v)\Big\vert_{t=0}=v. } $$

exp _{p が}局所微分同相写像であり、すべてに対してT ₀ exp _p ( v ) = v であるという事実

$$ {v\in B_\epsilon(0)} $$

これにより、 exp _{p が}0付近の局所アイソメトリであると主張できるようになります。

$$ { \langle T_0\exp_p(v), T_0\exp_p(w)\rangle_0 = \langle v, w\rangle_p\qquad\forall v,w\in B_\epsilon(0). } $$

これは、特にボールを識別できることを意味します。

$$ {B_\epsilon(0)\subset T_pM} $$

周りに小さな近所がある

$$ {p\in M} $$

。 exp _{p が}局所アイソメトリであることがわかってすでに満足していますが、それをもう少し超えたものにしたいと考えています。このマップが動径アイソメ図であることを示すことも実際に可能であることがわかりました。

ファイル：ガウス補題ローカルアイソメトリ.png

局所アイソメトリとしての指数関数

これは、特にボールを識別できることを意味します。

$$ {B_\epsilon(0)\subset T_pM} $$

周りに小さな近所がある

$$ {p\in M} $$

。私たちはそれを見てすでに満足しています

$$ {\exp_p\ } $$

はローカルアイソメトリですが、それをもう少し大きくしたいと考えています。このマップが動径アイソメ図であることを示すことも実際に可能であることがわかりました。

ガウスの補題: 動径アイソメトリとしての指数関数

どちらか

$$ {p\in M} $$

。以下で特定します

$$ {T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n} $$

。ガウスの補題は次のように述べています。

させて

$$ {v,w\in B_\epsilon(0)\subset T_vT_pM\cong T_pM} $$

そして

$$ {M\ni q:=\exp_p(v)} $$

。それで、

$$ { \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle_v = \langle v,w\rangle_q. } $$

のために

$$ {p\in M} $$

、この補題は次のことを意味します

$$ {\exp_p\ } $$

は、次の意味での動径アイソメトリです。

$$ {v\in B_\epsilon(0)} $$

、つまり、そのような

$$ {\exp_p\ } $$

は明確に定義されています。さらに、どちらか

$$ {q:=\exp_p(v)\in M} $$

。したがって、指数関数的

$$ {\exp_p\ } $$

ではアイソメトリのままです

$$ {q\ } $$

、そしてより一般的には、測地線全体にわたって

$$ {\gamma\ } $$

（に限って

$$ {\gamma(1,p,v)=\exp_p(v)\ } $$

は明確に定義されています）！したがって、放射状に、定義領域で許可されるすべての方向に、

$$ {\exp_p\ } $$

、これはアイソメ図のままです。

ファイル:ガウス補題放射状アイソメトリ.png

放射状アイソメトリとしての指数関数

証拠

それを思い出しましょう

$$ { T_v\exp_p : T_pM\cong T_vT_pM\supset T_vB_\epsilon(0)\longrightarrow T_qM. } $$

次の 3 つのステップで進めます。

• $$ {T_v\exp_p(v)=v\ } $$

: 曲線を作成しましょう

$$ {\alpha : \mathbb R \supset I \rightarrow T_pM} $$

のような

$$ {\alpha(0):=v\in T_pM} $$

、

$$ {\alpha'(0):=v\in T_vT_pM\cong T_pM} $$

と| v | = c s t e 。として

$$ {T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n} $$

、ポーズをとることができます

$$ {\alpha(t):=e^tv\ } $$

。それで、

$$ { T_v\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\gamma(t,p,v)\Big\vert_{t=0} = v. } $$

それでは内積を計算してみましょう

$$ {\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle} $$

。

分解してみましょう

$$ {w\ } $$

1つのコンポーネントで

$$ {w_T\ } $$

に接する

$$ {v\ } $$

そしてコンポーネント

$$ {w_N\ } $$

普通に

$$ {v\ } $$

。特に聞いてみましょう

$$ {w_T:=\alpha v\ } $$

、

$$ {\alpha\in \mathbb R} $$

。

前のステップには、次のことが直接含まれます。

$$ { \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle = \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_T)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\alpha\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(v)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\langle v, w_T\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle. } $$

したがって、ガウスの補題によれば、第 2 項がゼロであることを示さなければなりません。

$$ { \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle v, w_N\rangle = 0. } $$

• $$ {\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = 0} $$

曲線を定義しましょう

$$ { \alpha : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow T_pM,\qquad (s,t) \longmapsto t\cdot v(s), } $$

と

$$ { \alpha(0,1) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,t) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,t) = tw_N. } $$

それではポーズをとってみましょう

$$ { f : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp_p(t\cdot v(s)), } $$

そして計算します:

$$ { T_v\exp_p(v)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1, s=0}=\frac{\partial f}{\partial t}(0,1) } $$

そして

$$ { T_v\exp_p(w_N)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1,s=0}=\frac{\partial f}{\partial s}(0,1). } $$

それで、

$$ { \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1). } $$

ここで、このスカラー積が実際に変数tから独立していること、したがって次のことが検証されることになります。

$$ { \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1) = \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,0) = 0, } $$

なぜなら、上で述べたことによると、

$$ { \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\partial f}{\partial s}(t,0) = \lim_{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp_p(tw_N) = 0 } $$

差動が線形アプリケーションであると仮定すると、これにより補題が証明されます。

• 私たちはそれを確認します$$ {\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=0} $$ : これは直接計算です。実際、アプリケーションが次のようなことを行うという事実に初めて気づきます。
  $$ {t\mapsto f(s,t)} $$
  測地線です。つまり、
  $$ {\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}=0} $$
  。それで、

$$ { \frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\underbrace{\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}, \frac{\partial f}{\partial s}\rangle+\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle – \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle. } $$

したがって、特に、

$$ { 0=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle= \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle, } $$

|があるからです。 v | = c s t e 。

参考資料

1. Gauss’s lemma (Riemannian geometry) – anglais
2. Лемма Гаусса о геодезических – russe
3. Lemme – cebuano
4. Lemme – allemand
5. Lemme (disambiguation) – anglais
6. Lemme (disambigua) – italien