ベクトル空間 E の双対空間は、E 上の線形の集合です。空間の構造とその双対の構造は非常にリンクしています。この記事の最後では、二重空間と超平面の間のリンクに関するいくつかの結果を示します。これにより、線形の特定の特性を「幾何学的に」理解できるようになります。
トポロジカル双対は、ベクトル空間にトポロジカル ベクトル空間の追加構造が提供される場合、関数解析において高度に考慮されるバリアントです。
定義
(K,+, x) をフィールド、E を K ベクトル空間とします。
E 上の線形形式をE から K までの線形アプリケーション、つまり任意のアプリケーションと呼びます。
$$ {\phi : E \to \mathbb{K} \,\!} $$
のような ：
全体
$$ {\ \mathcal{L}(E,\, \mathbb{K})} $$
E 上の線形は K ベクトル空間であり、E の
双対空間と呼ばれます。それは注目されています
$$ {E^*\,\!} $$
。
もし
$$ {\phi \,\!} $$
の要素です
$$ {E^*\,\!} $$
そして
$$ {x \,\!} $$
の要素
$$ {E\,\!} $$
、時々書きます
$$ {\langle\phi,x\rangle \,\!} $$
のために
$$ {\phi(x) \,\!} $$
。この表記法は
双対括弧と呼ばれます。
例
前ヒルベルト空間の場合。
ベクトル空間 E が前ヒルベルト空間である場合、つまりスカラー積を備えている場合、自然に「ダイブ」する方法があります。
$$ {E\,\!} $$
で
$$ {E^*\!} $$
、つまり、E の各要素と双対の要素を関連付けて、次のような同型写像を形成します。
$$ {E\,\!} $$
と部分空間
$$ {E^*\!} $$
: 各要素へ
$$ {x \,\!} $$
E の線形形式を関連付けます
$$ {\phi_x : E \to \mathbb{K}, y \mapsto \langle x,y\rangle \,\!} $$
。それでアプリケーションは
$$ {f : E \to E^*, x \mapsto \phi_x \,\!} $$
は単射線形写像であるため、空間 E は部分空間と同型です。
$$ {f(E) \,\!} $$
の
$$ {E^*\,\!} $$
。
有限次元における双対性
空間 E が有限次元の場合
$$ {n \,\!} $$
、次に二重空間
$$ {E^*\,\!} $$
、E と同型で、次元も同じです
$$ {n \,\!} $$
。
「二重」基本構造によってこの結果が得られます。
もし
$$ {\mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} \,\!} $$
がベースなので、それぞれの
座標形状を定義できます。
$$ {i \in I \,\!} $$
コーディネートされたフォルム
$$ {e_i^* \,\!} $$
E の各ベクトルを基底の i 番目の座標に関連付けます
$$ {\mathcal{B} \,\!} $$
。
$$ {\forall x \in E \, \!} $$
私たちは書きます
$$ {x = \sum_{j \in I} x_j e_j \,\!} $$
その後
$$ {e_i^*(x) = x_i \,\!} $$
。
定理:
$$ {\mathcal{B}^* = (e_i^*)_{i \in I} \,\!} $$
基底の
双対基底と呼ばれる E* の基底です
$$ {\mathcal{B} \,\!} $$
、および任意の線形形式
$$ {\phi \,\!} $$
E には次のように書かれます。
$$ {\phi = \sum_{i \in I} \phi(e_i) e_i^* \,\!} $$
以来
$$ {\mathcal{B}^* \,\!} $$
の基礎です
$$ {E^*\,\!} $$
、上で発表された結果を推測します。
$$ {\dim E = \dim E^* \,\!} $$
。
したがって、有限次元では、空間はその双対空間と同じ次元を持ちます。一般的なケースでは、ベクトル空間が双対と同型であると断言できないことに注意してください。これは、無限次元の特定のベクトル空間では誤りです。
例
スカラーに関連付けられたラグランジュ多項式
$$ {x_0,x_1,\dots,x_n} $$
(ラグランジュ補間を参照) 多項式のセットの基礎を形成し、その双対基礎が評価関数で形成されます。
$$ {\ \phi_i(P)=P(x_i)} $$
。
直交
E は任意のベクトル空間です (有限次元は想定されていません)。
A が次の部分空間の場合
$$ {E\,} $$
で A の直交を定義します。
$$ {E^*\,} $$
による ：
B が次の部分空間の場合
$$ {E^*\,} $$
で B の直交を定義します。
$$ {E \,} $$
による ：
双対性理論における部分空間の直交の概念とユークリッド空間理論における直交性を混同してはなりません。
部分空間の表現
この段落では、二重空間の研究の非常に重要な応用、つまり超平面の交差としての部分空間の表現を示します。ここでは、有限次元ベクトル空間の場合に限定します。
フレームワーク: E は有限次元 n の K ベクトル空間です。
F を次元 p の部分空間 (E とは異なる) とします。したがって、p < n になります。
このとき、q = n – p の独立した線形形式が存在します。
$$ {\phi_1, …, \phi_q \, \!} $$
のような：
$$ {F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i \, \!} $$
つまり
$$ {\forall x \in E, (x \in F \Leftrightarrow \phi_1(x)=0, … , \phi_q(x)=0) \, \!} $$
この定理は、方程式による直線または平面の表現に関する次元 2 または 3 で知られている基本的な結果を一般化します。特に、3 次元ベクトル空間では、2 つの独立した平面の交点は線になります。
注:アフィン空間内の線または平面の概念 (幾何学的直観に対応する) を、ここで使用されているベクトル線またはベクトル平面の概念と混同しないでください。ベクトル線を次元 1 の部分空間と呼び、ベクトル平面を次元 2 の部分空間と呼びます。
したがって、次元 p の部分空間 F を q の独立した線形方程式で表すことができます。
$$ {q = \dim E- p \, \!} $$
。
