導入
数学では、前ヒルベルト空間は、スカラー積を持つ実数または複素ベクトル空間として定義されます。この概念は、有限次元の仮説を省略して、ユークリッド空間またはエルミート空間の概念を一般化します。
動機
無限次元における前ヒルベルト空間の一般的な場合は、多くの点で有限次元とは異なります。双対空間はもはやその空間と同型である必要はなく、ベクトル部分空間の直交は必ずしもこの部分空間を補足するものではなく、部分空間の直交の直交は必ずしもこの部分空間を復元するとは限りません。さらに、線形アプリケーションは必ずしも連続的であるとは限りません。したがって、空間分析手法は少し異なります。有限次元の場合については、 「ユークリッド空間」と「エルミート空間」の記事で説明されています。一般的なケースがこの記事の重要な主題です。
重要な応用例は、線形代数および双線形代数のツールを使用した関数空間の研究です。スカラー積は、2 つの関数の積の積分によって与えられます。より正確には、セスキ線形特性を維持するために、一方の関数と他方の関数の共役の積の積分によって求められます。有限次元の場合とは異なり、たとえx が非ゼロベクトルであっても、対 ( x , x ) のイメージがゼロになる可能性があるという意味で、スカラー積は常に定義されるわけではありません。積分は実際には、ゼロ測度のセット上の関数の値に依存しません。使用される用語は半内積です。一般に精度が与えられます。つまり、空間は分離可能です。つまり、空間には数えられるほど密なベクトルの族が存在します。この構成は、多数の機能空間に対応します。
ツールを使用すると、無限の次元であるトポロジーによって引き起こされる困難を克服することができます。スカラー積はノルム、つまり距離とトポロジーを定義します。スカラー積が計量空間に与える特定の特性により、多数の結果を実証できるとしても、1 つの特性が欠けています。プレヒルバーティアンという単語に現れる接頭辞「pre-」は、多くの結果にとって不可欠であることが判明している特定の仮定、つまり完全性が存在しないことを指します。この仮説が検証されると、その空間はヒルベルト空間またはヒルベルト空間と呼ばれます。
多くの自然な機能空間は完全ではありません。たとえば、コンパクトにサポートされた連続関数の空間などです。双対を使用してプレヒルバーティアンを完成させる簡単な方法があります。一般的なアプローチは、強力な結果を得るためにプレヒルベルト空間を強化することで構成されます。
プロパティ
トポロジー
さまざまな機能空間の研究に関しては、次元に関する仮説が存在しないため、新しいツールを使用する必要があります。有限次元技術のほとんどは効果がないことが判明しています。ドット積によって引き起こされるトポロジーは、重要な結果を確立するのに十分な特異性を持っています。標準化されたベクトル空間の一般的な枠組みにおけるこのトポロジーの分析は、それがベクトル空間の合成法則と互換性があることを示しています。正確に言うと、このトポロジでは、加算、外部乗算、およびノルムが連続です。空間内の点xを中心とするオープン ボールは近傍の基礎を形成し、凸状です。
彼らには追加のプロパティがあります。ボールはよく丸みを帯びています。ボールに含まれる十分に長いセグメントの中央は端から比較的遠くにあります。この性質は次のように表されます。
ここで、 B (1,0) は半径1のボールを示し、中心はゼロ ベクトルです。この性質は、必ずしも完全ではないため、前ヒルベルト空間に一様な凸空間のステータスを与えるものではありません。
これは、平行四辺形の恒等性の結果です。次の点に注意するだけで十分です。
部分空間と積空間
プレヒルバーティアンの任意のベクトル部分空間は、内積制限のプレヒルバーティアンです。
EとF を2 つのプレヒルベルト空間とすると、次の等式で定義されるスカラー積<.,.> ExF は、積E x Fにプレヒルベルト空間のステータスを与えます。
商空間
F をEの閉じた部分空間とすると、正規化ベクトル空間の一般的な分析により、 E / Fが次のノルムの正規化ベクトル空間であることがわかります。
プレヒルベルトの場合、この規範には強い特性があります。
- Eの商から得られるノルムはスカラー積に関連付けられます。それは次の式で与えられます。
したがって、商も前ヒルベルト空間です。
この構成は、スカラーセミプロダクトの場合に似ています。半ノルムの分析により、ゼロの半ノルム ベクトルのセットが閉じたベクトル部分空間であることがわかります。このプロパティは次の定義につながります。
- スカラー半積のカーネルは、空間全体に直交するベクトルのセットです。
もう一度言いますが、準ノルムについて分析された構成は、分離されていない前ヒルバートの構成と互換性があります。
- スカラー半積のカーネルは、関連する半ノルムのカーネルです。
したがって、ベクトルは、空間内のすべてのベクトルと直交する場合に限り、ゼロ準ノルムになります。半ノルムの場合に関しては、非分離プレヒルバーシアンをスカラー半積のカーネルで商することが可能になります。
- スカラー半積のカーネルによって分離されていない前ヒルベルト行列の商は、分離された前ヒルベルト行列です。
セミノルムを備えたベクトル空間の場合と同様に、この手法は関数解析で独立した空間を持たせるために使用されます。例として関数Fが挙げられます。関数 F は Ω の外側でゼロであり、積分可能です (リーマンの意味では、これで十分です)。不適切な積分に関連する問題を回避するために、Ω には有界があるとさらに仮定できます。自然なスカラー半積は次のとおりです。
スカラー半積のカーネルF 0 は、おそらく無視できるΩの集合を除いて、どこでもゼロであるFの関数で構成されます。この集合はFの直交集合です。 FをF 0で割った商は、Ω の外にある可積分関数とゼロ関数のクラスのセットを指定し、ゼロ測度のセットでのみ異なります。
- Eの商から得られるノルムはスカラー積に関連付けられます。それは次の式で与えられます。
- スカラー半積のカーネルは、関連する半ノルムのカーネルE 0です。
x 0 をE 0の要素、 y をEの要素、 t を実数とする。 x 0 + tの準ノルム。 y は常に正であるため、次のようになります。
前述の等式がtの任意の値に対して正であるという事実は、 x 0とyのスカラー半積の実部がゼロであることを示しています。同じ計算がiに適用されます。 y 、 i が純粋な虚数を表す場合、スカラー半積の虚数部もゼロであることを示します。逆に、半スカラー積のコアの要素は、それ自体を含む集合全体に対して直交するため、準ノルムのコアの一部となり、証明が完了します。
- スカラー半積のカーネルによって分離された前ヒルベルト行列の商は、分離された前ヒルベルト行列です。
ベース
プレヒルベルトの魅力の 1 つは、非常に一般的な仮説のもとで、代数的な意味での基底の性質に近い性質を持つヒルベルト基底が存在するという事実にあります。
有限次元とは異なり、有限数の非ゼロ項のみを含む和としてベクトルを表現することはもはや不可能です。ベクトルは、非ゼロ項のセットが可算である系列の極限として表示されます。一方、収束は絶対的であるため、級数の順序はほとんど重要ではありません。
存在が常に保証されているわけではありません。一方、空間が完全であれば、 Zorn の補題を使用して保証されます。そして、すべての正規化ベクトル空間と同様に、プレヒルベルト分布を完成させるのは比較的簡単です。
完全性によって保証されたこの存在は、完全に満足できるものではありません。ゾーンの補題で選択した公理を使用すると、この方法はそのような基礎を効果的に構築するのに使用できなくなります。一方、ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、多くの機能空間が分離可能であることを示しています。この追加の仮定は、選択公理を使用せずにヒルベルト基底の存在を保証するのに十分です。グラム・シュミット法により、このような基盤を効果的に構築することが可能になります。三角多項式またはルジャンドル多項式は、ルベーグの意味で積分可能な平方の実数のセグメント上の関数空間の例です。
完全
標準化されたベクトル空間を完成させることが可能です。正確には、 K の正規化ベクトル空間Hと、 JによるEのイメージがH内で密になるように、 HにおけるEの単射線形アイソメトリJ が存在します。 M が厳密に正の実数の場合、スカラー積は、半径Mの球とそれ自体がKにある球のデカルト積の一様連続マップになります。 K は完全空間であり、実数と複素数であるため、この球上の連続性によって拡張されます。 2 つのベクトルの場合、連続性ごとに拡張は 1 つだけであるため(均一連続性の記事を参照) 、この拡張は両方を含むボールには依存しません。最後に、任意のベクトルのペアがボールに含まれるため、 Hのスカラー積を拡張することができます。
同じベクトルに 2 回適用されたスカラー積の拡張の平方根は、ノルムの連続性による拡張です。この拡張の一意性は、 J が前ヒルベルト空間のアイソメトリであることを示しています。
有界演算子
境界オペレータは、ユニット ボールのイメージを境界付けるオペレータです。これらは連続演算子です。複素プレヒルベルト行列では次の性質があります。
- a を複素前ヒルベルト E の演算子、 b を x に|< a ( x ), x >|を関連付ける R +の単位球関数の上限とします。次に、次の増加が確認されます。
- 特に
- bが有限の場合、a は有界です。
- Eのすべての x 要素について、 a ( x ) が x に直交する場合、 a はゼロになります。
- 特に
実際のヒルベルト以前では、この結果は当てはまりません。 (反例として、計画では 4 分の 1 回転の回転が示されています。)
これは、自己共役コンパクト演算子の研究などに使用されます。
xとy がノルム 1 であると仮定し、次のことを証明します。
まず (左辺を展開して) 計算します。
したがって、(平行四辺形の恒等式とxとyに関する仮定を使用して):
θ 1 、θ 2 を複素数 < a ( x ), y > および < a ( y ), x > のそれぞれの引数とする。任意の角度μ について、< a ( x ), exp( i μ) y > と < a (exp( i μ) y ), x > の対応する引数はそれぞれ θ 1 -μ と θ 2 +μ です。 μ=( θ 1 – θ 2 )/2 を選択すると等しい。前の加算でy をexp( i μ) yに置き換えることで、目的の不等式が得られます。
デュアルの構造
双対は、任意のノルムとの関係で (スカラー積からの) ユークリッド ノルムの特異性の起源として、本質的な特性を持っています。その影響は多岐にわたり、深刻です。ここで、「双対」という用語はトポロジカルな意味で解釈されます。つまり、連続線形のみが研究されます。したがって、双対は演算子ノルムによって正規化されたベクトル空間です。
まず第一に、 Eにはアプリオリに欠落しているが、非常に必要な次の特性があります。
- デュアルスペースが完成しました。
この場合、双対には空間Eが含まれており、 E はその双対の中で密集しています。したがって、有理数に関しては実数と同様の役割を果たします。
- その双対における Eの正準写像 φ は注入であり、そのイメージは密です。
さらに、その自然規範はEの自然規範の連続性による拡張です。線形形式で識別されるEの任意の要素の演算子としてのノルムは、 Eのメンバーとしての要素のスカラー積の二次形式の根に対応します。
- 双対における Eの正準写像 φ は、スカラー積のノルムを備えた E から演算子ノルムを備えた双対へのアイソメトリ (考慮される到着セットが画像 φ である場合) です。
- Eのスカラー積は、連続性によってその双対に拡張されます。この拡張は、関連するノルムが双対にヒルベルト空間ステータスを与えるようなスカラー積です。
したがって、 Eを完成させる別の方法があります。それをその双対の一部と識別するだけで十分です。これでデュアルが完成します。等角同型写像までの補完は 1 つだけであるため、この方法は標準化されたベクトル空間を補完する一般的な方法と同等の結果をもたらします。双対は完全で一様に凸であり、ミルマン・ペティスの定理はそれが再帰的であることを示しています。それにもかかわらず、それは記事ヒルベルト空間で開発されたより強力な特性を持っています。
- デュアルスペースが完成しました。
双対の要素は、ユークリッド空間 (次元1または2 ) の連続線形マップですが、ユークリッド空間の正規化ベクトル空間の連続線形マップのセットは完全です。 (証明はユークリッド空間の記事で示されています。)
- その双対におけるEの正準マップ φ は注入であり、そのイメージは密です。
φの定義を思い出してみましょう。 Eの任意の要素xに、< x , y >を関連付ける線形形式を関連付けます。画像は明らかに直線的な形状です。 Cauchy-Schwarz 不等式はその連続性を保証し、そのノルムはxのノルム以下です。カーネルの要素がEに直交するか、 Eが分離されている場合、 xのイメージがゼロであれば、そのノルムもゼロであり、したがってx もゼロになります。これは、 φ が単射であることを示します。
画像の緻密な性質は、最良近似定理を証明するものと同様の推論から生じます。 δ を非ゼロの連続線形形式とします (δ がゼロの場合、φ(0) = δ であるため、φ のイメージ内にあります)。目的は、δ と φ( y ) の間の距離が指定された ε よりも小さくなるようなベクトルy を見つけることです。
δ( v ) が1に等しいようなEのベクトルv が存在します。 H をφ のカーネルとします。これは超平面であり、δ が連続であるため閉じています。 λ をvとH の間の距離とします。これはゼロではありません。そうしないと、 vに向かって収束するカーネルの要素のシーケンスが存在し、そのシーケンスの φ によるイメージはゼロになり、連続性によってvのイメージになります (n は次のとおりです)。そうではない。 ε を厳密に正の実数、 h をvとh の間の距離の二乗が λ 2 (1 + ε 2 /2) 未満となるようなHの要素とし、 uとy を次の式で定義されるベクトルとする。
残っているのは、 yと求められたベクトルを示すことだけです。これを行うには、単位球のベクトルxの画像の差の δ と φ( y ) の絶対値が ε より小さいことを示せば十分です。
Hは超平面でuはHに含まれないため、 uによって生成される直線と超平面Hは補足的であることがわかります。したがって、 x = α u + kとなる実数 α とHのベクトルk が存在します。 yとxのスカラー積を計算してみましょう。
私たちは次のように推測します。
vとhの間の距離の 2 乗 – tk は、 vとHの間の距離の 2 乗よりも大きいため、 R が虚数の実部を示す場合、次のようになります。
ここで、 vとhの間の距離の 2 乗は λ 2 + ε 2 /2 だけ増加します。したがって、次のようになります。
前の式は、主単項式が正である次数2 の多項式の式です。それは、次のように定義されるt 0の値について、ゼロ導関数の点で最小値に達します。
このt 0の値の場合、増加(1)は次のようになります。
kのノルムはxのノルムより小さいため、 x は1に等しくなります。
t をitに置き換えて同じ計算を行うと、 i は純粋な想像力を示し、同じ性質の等価性を示し、次のように推定されます。
λ がv – hのノルムより大きいことに注目すると、次のようになります。
これは δ と φ( y ) の近さを示しており、結論を導き出すことができます。
- 双対におけるEの正準写像 φ は、その双対に対するスカラー積のノルムが与えられたEのアイソメトリ (考慮される到着セットが画像 φ である場合) です。
この命題は、スカラー積と φ( x ) の演算子ノルムによって与えられるEのベクトルxの 2 つのノルムが同じであると言っていることになります。コーシー-シュワルツの不等式は、演算子としてのxのノルムがxのノルム以下であることをスカラー積で示します。等価性は、ベクトルxに φ( x ) を適用することによって得られます。
- Eのスカラー積は、連続性によって双対に拡張されます。
実際、アプリケーション φ によってEの画像上のスカラー積を転送することが可能です。 Eの画像では、演算子のノルムとスカラー積のノルムの 2 つが混同されています。 M を厳密に正の実数とする。中心がゼロのベクトルと半径Mを持つボールでは、スカラー積は均一に連続したマップになります。したがって、到着セットが完了しているため、拡張は 1 つだけです。ゼロベクトルを中心とするボールには任意のベクトルのペアが含まれるため、 E整数のスカラー積を連続的に拡張することができます。エクステンションの独自性により、ボールの選択が結果に影響を与えることはありません。
- この拡張は、関連するノルムがデュアルに完全な空間ステータスを与えるようなスカラー積です。