無視できる集合について詳しく解説

測定理論では、無視できる集合またはゼロ測定の集合は、その定義が使用する測定、またはむしろその等価クラスに依存する測定集合の一部です。初歩的なレベルでは、尺度を導入することなく、特定の数の空間 (実数直線を含む) に対する無視できる集合の概念に近づくことができます。歴史的には、無視できる集合という概念は以前から存在していました。

• 測定可能な部分
  $$ {N\,} $$
  測定可能な全体の
  $$ {(X,\, \Omega)} $$
  、メジャーで測定
  $$ {\mu\,} $$
  、次の場合は尺度がゼロと言われています。
  $$ {\mu(N)=0 \,} $$
  。
• XのNの部分は、ゼロ メジャーの一部に含まれる場合、無視できると言われます。

測定されたセット ( X 、 μ ) の無視できる部分のセットには、次の特性があります。

• 無視できる部分の測定可能なサブセットはすべてゼロの測定値を持ち、これは測定値の単分性の結果です。
• 無視できる部分のサブセットは無視できます。
• ゼロメジャーの（可測な）集合の可算和集合は可測であり、ゼロメジャーであり、メジャーの準加法性の結果です。
• 無視できる集合の可算和集合は無視できます。

アプリオリに、無視できる部分の定義は測定不可能な集合を許容するため、より強力であるように見えます。しかし、部族Ωを、可測不可能な無視できる集合を含み、その上に測度μを拡張した部族Ω’に完成させることは可能である。この完了は無視できる集合の定義に依存することに注意してください。次に、完全な測定について話します。完全な測定では、無視できるセットはすべて測定可能であるため、測定値はゼロになります。

歴史的要素

ルベーグ測度の無視できる集合

例

スペースで

、一般に使用される尺度はルベーグ尺度であり、アイソメトリによって比例不変になるまでの独自の尺度です。このメジャーでは、どのシングルトンもゼロ メジャーを持ちます。したがって、上記の 2 番目のプロパティを使用すると、次の可算サブセットが問題なくわかります。 無視できるほどです。

それで、注意すると、

ルベーグ測度それで 。

ゼロ ルベーグ測定セットの性質

直感的に信じていることに反して、

ルベーグ測度がゼロであるものは、必ずしも可算であるとは限りません。実際、最も古典的な例は、カントール集合の三項実現です。この集合はゼロ ルベーグ測度のボレルですが、可算ではありません（次のように等能であるため）。 ）。もう 1 つの注目すべきゼロ メジャー セットはベシコビッチ セットです。これには全方向の線が含まれています。これは、カントールの「4 つのコーナー」セットの二重としてなど、いくつかの方法で構築できます。

ほぼすべて

プロパティは、次のプロパティのいずれかを検証するセットによって検証される場合、セットのほぼすべて、またはセットの要素のほぼすべてによって検証されると言われます。

集合論では

Y がXの無限集合の点xの部分集合である場合。

• ほとんどすべての実数は無理数です。実際、有理数の可算無限と、実数の連続体の累乗を持つ無限が存在します (カントールの対角論を参照)。

のパートA

次の場合、漸近的に密であると言われます。

$$ {\frac{|\{k\in A, k\leq n\}|}{n}\rightarrow 1} $$

。

• ほとんどすべての整数は非素数です。実際、整数 n 未満の素数の密度は、n が無限大になる傾向がある場合、1/ln(n) に相当します。

「ほぼどこでも」というコンセプト

意味

この無視できる全体という概念により、「ほぼどこでも」という概念を定義することができます。確かに、もし

測定可能な空間にわたる測定値です 、提案変数に依存するに属する可測集合 A が存在する場合、ほぼどこでも、 μ( d x ) は真であると言われます。 のような ：

1. $$ {\{ x / non( P(x) )\} \subset A} $$
2. $$ {\mu(A) = 0 \,} $$

物件

は、偽である点の集合がゼロの尺度である場合、ほとんどどこでも真であると言われます。したがって、関数関数と等しくなります μ – セットであればほぼどこでも 。

連続体のべき乗を持つ集合では、可算集合はメジャー ゼロを持ちます。この結果により、現実が合理的であれば 1、非合理的であれば 0 を現実に関連付ける関数は、ほとんどどこでもゼロであると断言できます。

カントール集合は、[0,1] の数えられないがゼロメジャーの部分集合の例です。 0 と 1 の間のほとんどすべての実数はカントール集合の外にあります。

例

• もし
  $$ {f:(X,\Omega,\mu) \rightarrow \R_{+}} $$
  は測定された空間の関数です
  $$ {(X,\Omega,\mu)\,} $$
  次のような正の値を持つ
  $$ {f\,} $$
  はルベーグの意味で可積分である場合、次のようになります。

$$ {\int_{X}{f.d\mu} =0 \,} $$

もし、そしてその場合に限り

$$ {f = 0\,} $$

μ-ほぼどこでも。

「ほぼ確実に。」

確率に関しては、「ほぼどこでも」という表現を使用する代わりに、ほぼ確実に真である特性について話すことを好むのが一般的です。確率が 1 に等しい集合で検証されると、プロパティはほぼ確実に真になります。確率は測度であり、可測空間の確率は 1 であるため、これは確かに前の状況の特殊なケースです。

確率空間で

(部族のΩを設定 Ω上でP ( Ω ) = 1 となるようにこの σ 代数上でP を測定すると、特性 R は、以下に属する可測集合 A が存在する場合、ほぼ確実に真になります。 のような ：

1. $$ {\{ x / non( P(x) )\} \subset A} $$
2. $$ {P(A) = 0 \,} $$

これは、確率の性質から、P(Ω\A)=1 と言うのと同じです。

ほぼ確実に検証された特性という概念は、 確率変数の収束におけるほぼ確実に収束するという概念につながります。

ほぼ確実に向かって収束する ssi 。ほぼ確実な収束は、確率論における他の通常の収束特性 (確率の収束と法則の収束) を意味します。この意味で、それは収束の法則の中で「最強」です。

「ほぼすべて」という表現は、数学のさまざまな分野で共通して使用されます。確率的、位相的、または設定された意味を持つことができます。一般に、コンテキストは式の意味を指定します。

トポロジ内

ベア空間では、密集したオープン スペースの可算交差点が含まれていることを確認する点のセットに、ほぼすべての点が特性を満たします。ベアの定理によれば、この交差は空ではなく、密です。

• 現実の人間のほとんどは非合理的です。
• ほぼすべての連続関数
  $$ {[0,1]\rightarrow\R} $$
  微分不可能です。
• ほぼすべてのポイント
  $$ {\R} $$
  微分可能な関数の正規の値です
  $$ {f:M\rightarrow \R} $$
  ここで、 M は次のセグメントです。
  $$ {\R} $$
  あらゆるコンパクトな品種。