エルミート空間 - 定義 - サイエンス・ハブ

導入

チャールズ・エルミット、1887年

数学におけるエルミート空間は、有限次元複素体上のベクトル空間であり、スカラー積が与えられます。このような空間の幾何学構造は、ユークリッド空間の幾何学構造に似ています。多くの特性が両方の構造に共通しています。

したがって、コーシー・シュワルツ不等式や三角不等式などの特徴的な加算は常に有効であり、正規直交と呼ばれる特定の基底の存在が保証され、空間とその双対の間の正準関係はユークリッド配置と同じ性質を持ちます。。

基礎となる体の代数的に閉じた性質により、内部同型写像の対角化はスカラー積と互換性があり、より一般的になります。ここでの互換性という用語は、通常の、つまり代理との切り替えを意味します。

最後に、次元nのエルミート空間は次元 2 nのユークリッド空間でもあり、その結果、位相的性質はまったく同じになります。

この構造は、フランスの数学者シャルルエルミットにちなんで名付けられました。

定義と最初のプロパティ

定義

目的は、ユークリッド空間構造を複素数に一般化することであり、これには代数的に閉じた体であるという利点があります。その代わりに、身体の動作に適合する順序関係はもはや存在せず、複素数の2 乗が負になる場合があります。この問題を克服するために、スカラー積は双一次形式ではなくエルミート形式になりました。

エルミート形式は、値をE x Eに定義したマップです。

$$ {\mathbf C} $$

<.,.> で示され、次のようになります。

$$ {x \mapsto } $$

$$ {\forall x,y \in E,=\overline{ }} $$

$$ {x\mapsto } $$

この定義によるエルミート形式は右側でセス等直線であることにも注意してください。

これにより、次のような定義が得られます。

$$ {x\mapsto } $$

これらの条件下では、 < x , y >の実部は制限によって得られた実ベクトル空間構造のユークリッドスカラー積であり、虚部は最大ランクの交互双線形形式、つまりシンプレクティック形式です。

エルミート積という用語は、複素ベクトル空間上のスカラー積と同義です。

定義—エルミート空間は、有限次元の複素ベクトル空間であり、スカラー積を備えています。

スカラー積データにより、標準と距離を定義できます。

定義—ベクトルxにxのスカラー積の平方根を単独で関連付けるアプリケーションは、エルミートノルムと呼ばれるノルムです。それらの差のノルムを 2 つのベクトルに関連付ける関連距離は、エルミート距離と呼ばれます。

この記事の残りの部分では、 E は次元nの複素ベクトル空間を指定し、 C は複素数フィールド、<.,.> のスカラー積を指定します。最初の変数に関しては線形、 2 番目の変数に関しては半線形に選択されます。規格が記されている

$$ {\scriptstyle {\|.\|}} $$

。

例

正準スカラー積で提供されるベクトル空間 C ⁿ

$$ {\langle (x_1,x_2,\cdots,x_n) , (y_1,y_2,\cdots,y_n) \rangle = x_1\bar y_1 + x_2\bar y_2 + \cdots + x_n\bar y_n = \sum_{i=1}^n x_i\bar y_i} $$

は、次元 n の正準エルミート空間と呼ばれるエルミート空間です。

n以下の次数の複素多項式のベクトル空間、

標準スカラー積で提供されます。

$$ {\left\langle\sum_{i=0}^{n}a_iX^i , \sum_{i=0}^{n}b_iX^i\right\rangle = \sum_{i=0}^{n}a_i\bar b_i} $$

は次元n + 1 のエルミート空間です。

スカラー積で提供されるものは次のとおりです。

$$ {\langle P , Q\rangle = \int_0^1P(t)\overline {Q(t)}\ {\rm d}t} $$

もエルミート空間であり、その関連するノルムと距離は前の空間とは異なります。このスカラー積は、次数条件なしの複素多項式空間 (無限次元空間) でより一般的に定義されます。

スカラー積で提供されるものは次のとおりです。

$$ {\langle P , Q\rangle = \sum_{i = 0}^n P(x_i)\overline {Q(x_i)}} $$

( x ₀ , … x _nはn + 1 の異なる複素数です) もエルミート空間であり、その関連するノルムと距離は以前のものとは異なります。

不平等とアイデンティティ

実際の状況と同様に、2 つの古典的な増加は常に検証されます。 xとyがEの 2 つのベクトルを表す場合:

コーシー・シュワルツの不等式:
$$ {|\langle x,y\rangle|\le\|x\|.\|y\|} $$
三角不等式:
$$ {\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|\,} $$

後者は、準加法性と呼ばれるノルム定義の 3 番目の公理が検証されたことを示しています。他の 2 つ (分離と均一性) は明らかです。

R (λ) が複素数λ の実部を表す場合、和のノルムの 2 乗の展開は次のようになります。

$$ {\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2 + 2 \mathfrak R \Big(\langle x,y\rangle\Big)} $$

ピタゴラスの定理を確立できます: xとyが直交であれば、

$$ {\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2 } $$

ユークリッドの状況とは異なり、その逆はもはや当てはまりません。実際、2 つのベクトルのスカラー積の実数部がゼロ。

2 つのベクトルの和のノルムの 2 乗を展開すると、平行四辺形の法則が示されます。
$$ {\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2 } $$

極性のアイデンティティと同様に:
$$ {\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2 = 2\langle x,y\rangle + 2\langle y,x\rangle } $$
また、偏光アイデンティティと呼ばれる次の形式もとります。
$$ {\langle x,y\rangle=\frac14(\|x+y\|^2 – \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 – i\|x-iy\|^2)} $$

エルミート空間 – 定義

導入

定義と最初のプロパティ

定義

例

不平等とアイデンティティ

参考資料

エルミート空間 – 定義・関連動画