導入
三角形
数学では、三角不等式は基本的に直接経路が最短であることを表します。この不等式は、距離を正しく定義するためのプロパティまたは必要条件の形で記述することができます。
ステートメント
ユークリッド平面において、三角形ABCとする。次に、長さAB 、 AC 、およびCBによって、次の 3 つの不等式が検証されます。
$$ {AB \leqslant AC + CB} $$
$$ {AC \leqslant AB + BC} $$
$$ {BC \leqslant BA + AC} $$
2 つのプロパティによってこの不等式が完成します。
複素数の場合
ユークリッド平面の複素表現を使用すると、次のことがわかります。
$$ { x=\text{affixe de }\overrightarrow{AC}} $$
$$ {y=\text{affixe de }\overrightarrow{CB}} $$
この等価な定式化が得られます。
のために
$$ {(x, y) \in \mathbb{C}^2} $$
、 我々は持っています：
$$ {\Big| |x| – |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|} $$
$$ {|x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+^2-\{(0,0)\},\ \lambda x = \mu y} $$
前ヒルベルト空間への一般化
どちらか
$$ {(E, \langle | \rangle)} $$
ヒルベルト以前の空間。注意します
$$ {\|\cdot \|} $$
スカラー積に関連付けられた
二次ノルム。のために
$$ {(a, b)\in E^2} $$
、次に次のことを確認します。
$$ {\left| \|a\| – \|b\| \right| \leqslant \|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|} $$
$$ {\|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (x,y) \in \mathbb{R}_+^2-\{(0,0)\},\ x\cdot a = y \cdot b} $$
数学における距離の概念に関する詳細な記事については、「距離 (数学)」を参照してください。
E を集合とし、
$$ {d : E\times E \rightarrow \mathbb{R}} $$
。次の場合、
d はE 上の距離であると言います。
$$ {\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)} $$
$$ {\forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y} $$
$$ {\forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)} $$
dが距離であるために必要な 3 番目の特性は、三角不等式を満たすことです。
デモンストレーション
補題
声明
のために
$$ {z \in \mathbb{C}} $$
:
させて
$$ {z \in \mathbb{C}} $$
そして
$$ {(a, b) \in \mathbb{R}^2} $$
z = a + i bとなるようにします。
初めに、
$$ {\mathrm{Re}(z) \leqslant |\mathrm{Re}(z)| = \sqrt{a^2}} $$
。
その後、
$$ {a^2 \leqslant a^2 + b^2} $$
、 なぜなら
$$ {b^2 \geqslant 0} $$
機能の成長により
$$ {x\in\mathbb{R}_+ \mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{R}} $$
を取得します。
$$ {\sqrt{a^2} \leqslant \sqrt{a^2 + b^2} = |z|} $$
。
最終的に
$$ {\mathrm{Re}(z) \leqslant |z|} $$
。
Re( z ) = |の場合、等価性が存在します。 Re( z ) |つまり、 aが正の場合、および| の場合です。 Re( z ) | 2 = | z | 2 、つまりb = 0の場合。
複素数の文脈では
どちらか
$$ {(x, y)\in\mathbb{C}^2.} $$
不平等
金
$$ {\mathrm{Re}(x \bar y) \leqslant |x\bar y| = |x||y|} $$
、補題により。
それで
$$ {|x+y|^2 \leqslant |x|^2+|y|^2 + 2|x||y| = (|x|+|y|)^2} $$
の成長により、
$$ {x\in\mathbb{R}_+ \mapsto \sqrt{x} \in \mathbb{R}} $$
を取得します。
$$ {|x+y| \leqslant |x|+|y|} $$
。
x ‘ = − xおよびy ‘ = x + yとします。
以上のことから、
$$ {|x’ + y’| \leqslant |x’| + |y’|} $$
、つまり
$$ {|y| \leqslant |-x| + |x+y|} $$
。
それで
$$ {|y| – |x| \leqslant + |x+y|} $$
同じく、
$$ {|x| – |y| \leqslant + |x+y|} $$
最終的に、
$$ {\Big| |x| – |y| \Big| \leqslant |x+y| \leqslant |x|+|y|} $$
等しい場合
|と仮定します。 x + y | = | × | + | y | 。
次に、
$$ {\mathrm{Re}(x \bar y) = |x\bar y|} $$
。補題により、
$$ {x\bar y} $$
は本当にポジティブです。つまり、
xと
y は同じ引数を持ちます。
それで
$$ {\exists \theta\in\mathbb{R}, x = |x|e^{i\theta}, y = |y|e^{i\theta}} $$
。
最後に、 λ x = μ y が得られます。ここで、 λ = | y |およびμ = | × |氏。
ユークリッド計画の枠組みの中で
最も簡単な証明は、ユークリッド平面の複素表現を使用し、以前に実証した結果を適用することです。
ヒルベルト以前の空間の文脈において
この証明は、複合体の場合とまったく同じ構造を持ちます。
どちらか
$$ {(E, \langle | \rangle)} $$
ヒルベルト以前の空間。どちらか
$$ {(a, b)\in E^2} $$
。
不平等
我々は持っています
$$ {\|a + b\|^2 = \|a\|^2 + \|b\|^2 + 2 \mathrm{Re}\langle a | b \rangle} $$
。
補題により、
$$ {\mathrm{Re}\langle a | b \rangle \leqslant | \langle a | b \rangle |} $$
。
コーシー・シュワルツの不等式により、
$$ {| \langle a | b \rangle | \leqslant \|a\| \|b\|} $$
。
したがって、
$$ {\|a + b\|^2 \leqslant \|a\|^2 + \|b\|^2 + 2\|a\| \|b\|} $$
。
など
$$ {\|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|} $$
a ‘ = − aおよびb ‘ = b + aとします。以上のことから、
$$ {\|a’ + b’\| \leqslant \|a’\| + \|b’\|} $$
。
つまり、次のようになります
$$ {\|a\| = \|-a\|} $$
、 我々は持っています
$$ {\|b\| \leqslant \|a\| + \|b+a\|} $$
。
aとb を入れ替えて同じことを行うと、次のようになります。
$$ {| \|a\| – \|b\| | \leqslant \|a + b\|} $$
。
最終的に、
$$ {| \|a\| – \|b\| | \leqslant \|a + b\| \leqslant \|a\| + \|b\|} $$
等しい場合
次のように仮定します。
$$ {\|a + b\| = \|a\| + \|b\|} $$
、そしてそれ
$$ {a \neq 0} $$
。
したがって、上記のことから、
$$ {\mathrm{Re}\langle a | b \rangle = |\langle a | b \rangle| = \|a\| \|b\|} $$
。
したがって、コーシー-シュワルツの等式の場合、
$$ {\exists \lambda\in\mathbb{C},\ b = \lambda\cdot a} $$
。
そして
$$ {\langle a | b \rangle} $$
は本当にポジティブです。として、
$$ {\langle a | b \rangle = \bar \lambda \|a\|^2} $$
,
λも正の実数です。
最終的に、
$$ {\|a + b\| = \|a\| + \|b\| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}_+^2,\ \lambda\cdot a = \mu \cdot b} $$
