特殊相対性理論の形式 – 定義

導入

評価

数式は、固定慣性系 (地球など) 内のイベントの座標 ( t , x ) と、移動系 (たとえば地球) 内の同じイベントの座標 ( t’ , x’ ) の間の通過を確立します。ロケット、速度vでx軸に沿って移動します。

時間の起源は一致すると考えられています。

$$ {t\,=\,t’\,=\,0} $$

私たちはポーズをとります:

$$ {\beta \,=\,v/c} $$

特殊相対性理論の不変量

次の量は座標が変化しても不変です

$$ {c^2\tau^2\,=\,c^2t^2 – (x^2 + y^2 + z^2) = \,c^2t’^2 – (x’^2 + y’^2 + z’^2)} $$

そして適切な時間を定義します

角度パラメータ

式を単純化するには、次の式で定義される角度パラメータを導入すると便利です。

$$ {\beta \,=\,\tanh\theta} $$

どちらか

$$ {\theta \,=\, \mathrm{atanh}\beta} $$

このパラメータを使用すると、次のように記述できます。

$$ { \gamma = (1 – \beta^2)^{-1/2} = (1 – \tanh^2\, \theta)^{-1/2} = \cosh \,\theta } $$

$$ {\beta\gamma \,=\, \beta (1 – \beta^2)^{-1/2} = \tanh\theta \,\cosh \,\theta = \sinh\,\theta } $$

時間の遅れ

ロケットクロックが持続時間を測るなら

$$ {\Delta t = \Delta t’\cosh\,\theta = \gamma \Delta t’ = \frac{\Delta t’}{\sqrt{1 – (v^2/c^2)}}\,.} $$

外部ベンチマークで測定された期間は、常に独自の期間よりも長くなります。

ローレンツ変換

$$ { \begin{cases}ct = \gamma (ct’+ \beta x’)\\ x = \gamma (x’ + \beta ct’)\\ y = y’\\ z = z’ \end{cases} } $$

これは行列形式で得られます (視覚化が容易になります)。

$$ { \begin{pmatrix} ct\\x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0\\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct’\\x’\\y’\\z’ \end{pmatrix} } $$

角度θの双曲線関数を使用すると、平面回転によって座標軸を変更するための公式に類似した式が得られます。

$$ { \begin{cases} ct= ct’\cosh\,\theta + x’\sinh\,\theta \\ x = ct’ \sinh\,\theta + x’\cosh\,\theta \end{cases} } $$

逆方向

$$ { \begin{cases}ct’ = \gamma (ct – \beta x)\\ x’ = \gamma (x – \beta ct )\\ y’ = y\\ z’ = z \end{cases} } $$

または

$$ { \begin{cases} ct’= \ ct\cosh\,\theta – x\sinh\,\theta \\ x’ = -ct \sinh\,\theta + x\cosh\,\theta \end{cases} } $$

速度の合成法則

砲弾は、このロケットの基準に対して進行方向に速度w ‘でロケットに発射されます。地球に対する砲弾の速度w は次のようになります。

$$ {w \,=\, \frac{w’+v}{1 + (w’ v/c^2)}\,.} $$

角度パラメータの使用

$$ {\alpha’\,=\,\mathrm{atanh}(w’/c)} $$

$$ {\alpha\,=\,\mathrm{atanh}(w/c)} $$

$$ {\theta\,=\,\mathrm{atanh}(v/c)} $$

私たちには加算法があります

$$ {\alpha\,=\,\alpha’+\theta} $$

長さの収縮

ロケットがそれ自体の基準系で長さL’である場合、地球上の 2 点間の距離で測定したその長さL は、同じ瞬間(地球上) でのロケットの前後の長さと一致します。

$$ {L = L’/\gamma = L’ \sqrt{1 – (v^2/c^2)}\,.} $$

地球上で測定された長さはロケット自体の長さよりも短いです。

運動エネルギー

粒子の運動エネルギーは、

$$ { K\, = E – m c^2 \,=\,m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1 – (v^2/c^2)}} – 1\right)\,.} $$

のために

$$ {K\,= \,(1/2) m v^2\,} $$

そしてのために

$$ {K \simeq E \simeq pc = \frac{mc^2}{\sqrt{2(1-\beta)}}\equiv \frac{mc^2}{\sqrt{2[1-(v/c)]}}\,.} $$

エネルギー運動量クワドリベクター

$$ { \begin{cases} p_t=E/c = mc \ dt/d\tau\\ p_x = m\ dx/d\tau\\ p_y =m\ dy/d\tau\\ p_z=m\ dz/d\tau\,. \end{cases}} $$

として

$$ {dt/d\tau\,=\,\gamma \equiv (1-\beta^2)^{-1/2}\,,} $$

我々は持っています

$$ {E \,=\,\gamma mc^2} $$

$$ {p \equiv (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)^{1/2} = m\gamma\beta c= m v /\sqrt{1 – (v^2/c^2)}} $$

低速時

$$ {E \,=\, mc^2 + (1/2) m v^2\,.} $$

私たちはまだ関係を持っています

$$ {p\,=\,\beta E/c\,.} $$

次の量は基準が変化しても不変です

$$ {E^2 – p^2c^2\,=\,m^2c^4} $$

光子の場合、 m = 0 であり、

$$ {E\,=\,pc} $$

ドップラー・フィゾー効果

ドップラー効果

$$ {\nu\,=\,\gamma\,(1 + \beta\cos\theta’) \nu’\equiv \frac{1 + (v_r/c)}{\sqrt{1 – (v^2/c^2)}}\,\nu’} $$

低速時

$$ {\frac{\Delta\nu}{\nu} \equiv \frac{\nu – \nu’}{\nu’} \simeq \frac{\nu – \nu’}{\nu} = \frac{v_r}{c}\,.} $$

星が遠ざかると、 vは正、 cosθ’は負、

光収差現象：

$$ {\begin{cases}\cos\theta = (\beta + \cos\theta’)/(1 + \beta\cos\theta’)\\ \sin\theta = \gamma^{-1}\sin\theta’/(1+\beta\cos\theta’) \end{cases}} $$