導入
| ベクトル解析記事 | |
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| 研究対象 | |
| ベクトルフィールド | スカラーフィールド |
| 偏微分方程式 | |
| ラプラス著 | 魚 |
| オペレーター | |
| ナブラ | 勾配 |
| 回転 | 発散 |
| スカラーラプラシアン | ビラプラシアン |
| ベクトルラプラシアン | ダランベルティアン |
| 定理 | |
| by グリーン | ストークス著 |
| ヘルムホルツ著 | 流れの分岐の |
| グラデーションの | 回転式 |
ベクトル解析は、ユークリッド空間の十分に規則的なスカラーとベクトルの場、つまり、それぞれの値を持つ開いたユークリッド空間Eの微分可能なマップを研究する数学の一分野です。
しかし、ベクトル解析の重要性は、物理学や工学科学で広く使用されていることからもたらされます。私たちがそれを提示するのはこの観点からであり、これが、私たちがほとんどの場合、次のような場合に限定する理由です。
主な線形微分ソート演算子
勾配、発散、回転は 3 つの主要な 1 次線形微分演算子です。これは、たとえば 2 次偏導関数を含むラプラシアンとは異なり、フィールドの 1 次偏導関数 (または微分) のみが関与することを意味します。
- これらは、特に流体力学(ナビエ・ストークス方程式) で発生します。
- そして電磁気学でも、電磁場の特性を表現することができます。マクスウェル方程式の最新の定式化では、これらの演算子が使用されます。
- すべての数学物理学 (伝播、拡散、 材料の抵抗など) と同様に。
nabla形式演算子
ナブラ演算子
- $$ { \nabla = \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{pmatrix} } $$。
私たちも書きます
nabla表記は、ベクトル演算子をデカルト座標で表現する便利な方法を提供しますが、これはこの場合に限ります (十分注意してください)。
グラデーション
勾配は、スカラーのフィールドに適用され、それをベクトルのフィールドに変換する演算子です。実際には、勾配はスカラー場の最大の変動の方向と、この変動の強度を示します。たとえば、高度勾配は最大勾配の線に沿って方向付けられ、そのノルムは勾配とともに増加します。
数学では、点aにおける連続微分可能であると仮定される場fの勾配は、次の関係によって定義されます。
- $$ {\mathrm d f(a)\cdot h = \left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f\right) \cdot h} $$、
または
したがって、これは非常に単純に、M = a におけるスカラー場 f(M)= f(x, y, z) の接線線形適用の定義です。さらに、方程式f ( x , y , z ) = 0の表面の場合、点a = ( xa , ya , za )における表面に垂直なベクトルは次のように与えられます。
すぐに、ベクトルvに関するaにおける関数の導関数は次のように与えられます。
- $$ {\overrightarrow{\mathrm{grad}}_a f \cdot v. } $$
次元3 およびデカルト座標では、勾配フィールドによって検証されます。
- $$ {\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix}. } $$
この関係は、それが適用される特定の場合に、勾配を定義するために使用できます。ナブラにコンポーネントを追加することで、あらゆる次元に自然に一般化されます。