ナブラについて詳しく解説

導入

ベクトル解析の記事

研究対象
ベクトルフィールド	スカラーフィールド
偏微分方程式
ラプラス著	魚
オペレーター
ナブラ	勾配
回転	発散
スカラーラプラシアン	ビラプラシアン
ベクトルラプラシアン	ダランベルティアン
定理
by グリーン	ストークス著
ヘルムホルツ著	流れの分岐の
グラデーションの	回転式

ナブラ、注目

$$ {\nabla} $$

は、解析における関数の勾配や、微分幾何学におけるコズル結合を指定できる数学記号です。 2 つの概念は明らかにリンクされており、同じシンボルの使用が説明されています。物理学では、ベクトル場Aの発散 ( ∇ · A )、回転 ( ∇ ∧ A ) およびベクトルラプラシアン (Δ A = ∇ ² A ) を簡単に表すために、次元3 で非公式に使用されます。勾配 (∇ f ) とスカラー場fのラプラシアン (Δ f = ∇ ² f )。これらの概念は物理学、特に電磁気学と流体力学の基礎です。

歴史的起源

ナブラの形式は、ギリシア文字のデルタ大文字 (Δ) を反転させたものに由来します。これは、ギリシア文字の正立が微分積分の演算子(ラプラシアン) を指定するためにすでに使用されているためです。ナブラは、1867 年にピーター・ガスリー・テイトによって導入されました。最初はジェームズ・マクスウェルによっていたずらで「アトレッド」（デルタを逆に）というあだ名が付けられましたが、ナブラという名前は、1870 年にウィリアム・ロバートソン・スミスのアドバイスを受けてテイトによって形状の類推によって付けられました。古代にこの名前が付けられたギリシャのハープ。

ベクトル解析フォーム

これは、いくつかの一般的な座標系を使用する場合に一般的に使用されるいくつかのベクトル解析公式のリストです。

**テーブル付き**$$ {\nabla} $$
手術	デカルト座標( x 、 y 、 z )	円筒座標 ( ρ 、 φ 、 z )	球座標( r 、 θ 、 φ )
意味の連絡先の詳細	$$ {\begin{cases} x = \rho\cos\varphi \\ y = \rho\sin\varphi \\ z = z \end{cases}} $$	$$ {\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases}} $$
$$ {symbol A} $$	$$ {A_x symbol u_x + A_y symbol u_y + A_z symbol u_z} $$	$$ {A_\rho symbol u_\rho + A_\varphi symbol u_\varphi + A_z symbol u_z} $$	$$ {A_r symbol u_r + A_\theta symbol u_\theta + A_\varphi symbol u_\varphi} $$
$$ { \nabla f \equiv \overrightarrow{\mathrm{grad}} f} $$	$$ {{\partial f \over \partial x}symbol u_x + {\partial f \over \partial y}symbol u_y + {\partial f \over \partial z}symbol u_z} $$	$$ {{\partial f \over \partial \rho}symbol u_\rho + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \varphi}symbol u_\varphi + {\partial f \over \partial z}symbol u_z} $$	$$ {{\partial f \over \partial r}symbol u_r + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}symbol u_\theta + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}symbol u_\varphi} $$
$$ { \nabla\cdotsymbol A \equiv \mathrm{div} symbol A} $$	$$ {{\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}} $$	$$ {{1 \over \rho}{\partial \rho A_\rho \over \partial \rho} + {1 \over \rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial A_z \over \partial z}} $$	$$ {{1 \over r^2}{\partial r^2 A_r \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\theta\sin\theta \over \partial \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}} $$
$$ { \nabla \wedge symbol A \equiv \overrightarrow{\mathrm{rot}} \overrightarrow{symbol A}} $$	$$ {\left({\partial A_z \over \partial y} – {\partial A_y \over \partial z}\right) symbol u_x } $$	$$ {\left({1 \over \rho}{\partial A_z \over \partial \varphi} – {\partial A_\varphi \over \partial z}\right) symbol u_\rho } $$	$$ {{1 \over r\sin\theta}\left({\partial A_\varphi\sin\theta \over \partial \theta} – {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) symbol u_r} $$
$$ {\Delta f = \nabla^2 f} $$	$$ {{\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}} $$	$$ {{1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}} $$	$$ {{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}} $$
$$ {\Delta symbol A = \nabla^2 symbol A} $$	$$ {\Delta A_x \; symbol u_x } $$	$$ {\left(\Delta A_\rho – {A_\rho \over \rho^2} – {2 \over \rho^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) symbol u_\rho} $$	$$ {\left(\Delta A_r – \frac{2 A_r}{r^2} – \frac{2 A_\theta\cos\theta}{r^2\sin\theta} – \frac{2}{r^2} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} – \frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}\right) symbol u_r} $$
その他の計算ルール $$ {\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f} $$ (ラプラシアン) $$ {\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{grad}} f = \nabla \wedge ( \nabla f) = symbol 0} $$ $$ {\operatorname{div}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; symbol A = \nabla \cdot ( \nabla \wedge symbol A) = 0} $$ $$ {\overrightarrow{\operatorname{rot}}\ \overrightarrow{\operatorname{rot}} \; symbol A = \nabla \wedge (\nabla \wedge symbol A) =\nabla ( \nabla \cdot symbol A) – \nabla^2 symbol A = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\ \operatorname{div} symbol A – \Delta symbol A} $$ (回転の回転) $$ {\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f} $$ ベクトル積のラグランジュ公式 $$ {symbol A \wedge (symbol B \wedge symbol C) = symbol B \times (symbol A \cdot symbol C) – symbol C \times (symbol A \cdot symbol B)} $$

円筒座標または球座標の ( nablaまたは del)

曖昧な表記にもかかわらず、これらの演算子はスカラー積ではなく、むしろアプリケーションです。

$$ {\nabla \cdot symbol A} $$

。結果はデカルト座標でも同じですが、曲線座標では false になります。

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参考資料

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