導入
統計物理学および固体物理学において、アインシュタイン モデルは、結晶固体の熱容量に対する格子振動の寄与を記述するためのモデルです。これは次の仮定に基づいています。
このモデルは、1907 年に提案したアルバート アインシュタインにちなんで名付けられました。
内部エネルギー
結晶格子の振動は量子化されています。つまり、各標準振動モードのエネルギーは離散値のみを取ることができます。
$$ {\hbar\omega_E} $$
。したがって、このモデルは、フォノンの波動粒子の二重性と、3N 調和振動子が同じ周波数で等方的に振動するという事実に基づいています。固体の内部エネルギーU は次の式で与えられます。
- $$ {U = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}} $$
ここで、ℏは換算プランク定数、ωは振動子の脈動、 Nは系を構成する原子の数、
$$ {\beta = \frac{1}{k_{B}T}} $$
ここで、 k Bはボルツマン定数、 T は絶対温度です。$$ {\hbar\omega_E} $$
は次のように与えられます。 - $$ {E_n=\hbar\omega_E\left(n+\frac{1}{2}\right) (n\ge 0)} $$
ここで、 n は量子数です
次の関係によって与えられる量子調和振動子の分配関数を計算します。
- $$ {Z=\sum_j e^{-\beta E_n}=\sum_j e^{-\beta(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_E}\;\; \left(\text{avec }\beta = \frac{1}{k_{B}T}\right)} $$
ここで、k Bはボルツマン定数、T は絶対温度、j は発振器の状態です。エネルギー レベルごとに状態は 1 つだけです。したがって、合計は次のようになります。
- $$ {Z=\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar\omega_E-\beta\frac{1}{2}\hbar\omega_E} = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\sum_{n=0}^\infty (e^{-\beta\hbar\omega_E})^n} $$
等比数列の和の公式を適用することにより、分配関数を単純化します。
- $$ {Z = e^{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\cdot\frac{1}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}}} $$
次に、発振器のエネルギーを取得します。
- $$ {\bar{\epsilon}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}} $$
と
$$ {\ln Z = -\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}-\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega_E})} $$
それは与える- $$ {\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_{E}e^{-\beta\hbar\omega_E}}{1-e^{-\beta\hbar\omega_E}} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}} $$
ついでに注意しておきますが、
$$ {\lim_{T \to 0}\bar{\epsilon} = \lim_{\beta \to +\infty}\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}} $$
。このエネルギーはハイゼンベルクの不確定性原理に違反しないようにゼロ点エネルギーに相当します。ゼロ点エネルギーは考慮していません。 $$ {\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}} $$
システムの内部エネルギーは次のようになります。 $$ {U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}} $$
モデルの結果
アインシュタインのモデルでは、高温に関して Dulong と Petit の法則が見つかります。
- $$ {\lim_{T \to +\infty} C_V = 3Nk_B} $$
ただし、低温では、このモデルは Debye のモデルほど実験測定と一致しません。
いつ
$$ {T \rightarrow 0\text{ : }C_V\propto 3Nk_B \left(\frac{\Theta_E}{T} \right)^2 e^{-\Theta_E/T}\rightarrow 0} $$
実験とのこの矛盾は、調和振動子が同じ周波数で振動するという仮説を放棄することで説明できます。
熱容量
熱容量 C V は次のように定義されます。
- $$ {C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V} $$
と
$$ {\; U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}\,} $$
を取得します。 - $$ {C_V = \frac{3N\hbar^2\omega_E^2}{k_B T^2} \cdot \frac{e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2} = (\beta\hbar\omega_E)^2 \cdot \frac{3Nk_{B}e^{\beta\hbar\omega_E}}{\left(e^{\beta\hbar\omega_E}-1\right)^2}} $$
アインシュタイン温度は次のように定義できます。
$$ {\Theta_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_B}} $$
。これらすべてが私たちに与えてくれる$$ {C_V\left(T\right) = 3Nk_B\cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]^2}} $$