導入
コムフィルターは信号処理で使用され、信号の遅延バージョンをそれ自体に追加し、破壊的または建設的な干渉を引き起こします。フィルターの周波数応答は、一連の等間隔のピークとして現れるため、「コムフィルター」と呼ばれています。等価品質係数 (フィルターの傾き) は非常に重要です。
コムフィルターには、元の信号に追加される信号の方向に応じて、フィードフォワードまたはフィードバックのいずれかを使用する 2 つの形式があります。フィルタは、時間の経過とともに離散的または連続的な形式で作成できます。
コムフィルターは、特にビデオ信号 (アンチエイリアシング、サンプリングレートの変更、コンポーネントの分離) とオーディオ信号 (エコー エフェクト、フランジャー、広い空間でのサウンドの同期など) を処理するために使用されます。また、特定の寄生周波数(主電源高調波の除去など) を除去 (または選択) するために使用することもできます。フィルタリングされた周波数は、フィルタリングされる信号の周波数に簡単に従属させることができるためです。
周波数コムは光学、特にレーザーの分野でも開発されており、非常に向上した精度で時間間隔と光の周波数を測定できるようになります。超高分解能分光法により、髪の毛の1/10万本の太さに相当する精度で地球と月の距離を測定できるようになりました。この精度は髪の毛の 1000 万分の 1 まで高める必要があります。
予測機能付きの個別フィルター
フィードフォワードコムフィルターの一般的な構造を右側に示します。これは次の微分方程式で説明できます。
- $$ {\ y[n] = x[n] + \alpha x[n-K]} $$
ここで、 Kは遅延長(サンプル単位で測定)、 α は遅延信号に適用されるゲイン係数です。方程式の両側で Z 変換を行うと、次のようになります。
- $$ {\ Y(z) = (1 + \alpha z^{-K}) X(z)} $$
伝達関数は次のように定義されます。
- $$ {\ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K}} $$
周波数応答
Z ドメインで表現された離散システムの周波数応答を取得するには、代入z = e j ωを実行します。期待値を含むフィルターは次のようになります。
- $$ {\ H(e^{j \omega}) = 1 + \alpha e^{-j \omega K}} $$
オイラーの公式によると、応答周波数は次のようになります。
- $$ {\ H(e^{j \omega}) = \left[1 + \alpha \cos(\omega K)\right] – j \alpha \sin(\omega K)} $$
位相を無視する強度応答は、一般に次のように定義されます。
- $$ {\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{\Re\{H(e^{j \omega})\}^2 + \Im\{H(e^{j \omega})\}^2}} $$
予測を伴うコムフィルターの場合、強度応答は次のようになります。
- $$ {\ | H(e^{j \omega}) | = \sqrt{(1 + \alpha^2) + 2 \alpha \cos(\omega K)}} $$
(1 + α 2 )は定数ですが、 2αcos(ω K )は周期的に変化します。したがって、コムフィルターの振幅応答は周期的です。
右側のグラフは、 αのさまざまな値に対する振幅応答を示し、周期性を明確に示しています。重要なプロパティが観察できます。
- 応答は周期的に極小値 (トラフ) まで低下し、周期的に極大値 (ピーク) まで上昇します。
- 最小レベルと最大レベルは常に 1 から等距離になります。
- いつ$$ {\alpha = \pm 1} $$、最小値の振幅はゼロです。
- αの正の値の最大値は、 αの負の値の最小値と一致します (逆も同様)。
極と零点の解釈
期待値を含むフィルター伝達関数によると、次のようになります。
- $$ {\ H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K}} $$
z K = − αの場合、分子はゼロであることがわかります。複素平面の円内に規則的に配置されたK個の解が存在し、これらは伝達関数の零点です。 zK = 0の場合、分母はゼロであるため、 z = 0でK極が得られます。極と零点のグラフィック表現は次のとおりです。
 K = 8およびα = 0.5の場合 |  K = 8およびα = − 0.5の場合 |