分離公理 (トポロジー)について詳しく解説

導入

トポロジーにおける分離公理は、ハウスドルフ分離特性 (T ₂とも呼ばれる) に似た、特定の位相空間によって満たされる特性であり、近傍または実連続関数の観点から、点または閉じたオブジェクトの分離に関するものです。

さまざまな分離公理、特に文字「T」と数値インデックスによってコード化された一連の公理は、含意によって順序付けできます。これらの公理は、一般に、インデックスが高く、対応するトポロジーがより細かいほど、より制限的になります。

公理のリスト

分離 T ₀ (コルモゴロフ空間)

位相空間内で等価関係です。同値クラスがすべてシングルトンに還元されるとき、 X は空間 T ₀であると言います。言い換えれば、任意の 2 つの異なる点について、2 つの点のうちの 1 つは、もう 1 つの点を含まない近傍を許可します。この性質を満たす空間はコルモゴロフ空間と呼ばれることもあります。この同値関係によるXの商は常にコルモゴロフ空間になります。

T ₁分離 (アクセス可能なスペース、または Frechet)

位相空間X は、 Xのシングルトンが閉じている場合には空間 T ₁になります。これは、任意の点xについて、 xの近傍の交差がシングルトン{ x }に還元されることと同等です。スペースは、T ₀と R _{0 の}両方である場合に限り、T ₁になります。

空間

$$ {E = \{a,b\}~} $$

開いているものは誰ですか

$$ {\varnothing, \{a\}, E} $$

は T ₀ですが、 T ₁ではありません。適切なトポロジで提供される実数のセットについても同様です。

分離 T ₂ (ハウスドルフ空間)

これは古典的なプロパティです。位相空間は、 T ₂ 、ハウスドルフ、または分離空間と呼ばれます。 Xの異なる要素のペア(x,y)について、2 つの互いに素な開いた空間が存在し、一方にはx が含まれ、もう一方にはy が含まれます。これは、任意の点xについて、 xの閉じた近傍の交差がシングルトン{ x }に還元されることと同等です。

分離 T ₂は分離T _{1 を}引き起こします。逆は誤りです。有限トポロジーと代数多様体上のザリスキトポロジーは T ₁ですが、一般に分離されていません。

分離 T _{2 1/2} (完全なハウスドルフ空間)

位相空間は、2 つの異なる点が接着が素である近傍を許容する場合、T _{2 1/2}空間です。次の例に示すように、スペース T _{2 1/2}は分離されていますが、その逆は false です。

半径 1 の中心 O と 2 つの点 (1,0) と (-1,0) をもつ円盤の内部で構成される集合E を考えます。ディスクの内部の点の近傍ベースは、この点を中心とするディスクから形成されます。点 (1,0) の近傍のベースは、この点の開いた結合と、この点に隣接し、セグメント [(0,1), (0,1 -h) によって制限される半円形のストリップ (開いた) で構成されます。 )] および [(0,-1), (0,-1+h)]。 (-1.0) についても同様です。下の図では、円盤内の点の近傍と、各点 (1,0) と (-1,0) の近傍を色で示しています。これらの最後の 2 つの近傍が開いている場合、それらは互いに素になっていますが、それらの接着は、それらを制限する共通セグメントの一部に沿って交差します。したがって、スペースEは分離されますが、T _{2 1/2 は}分離されません。

T _{2 3/4}分離 (ウリソーン空間)

位相空間X は、 Xのすべての異なる点aおよびbに対して=1の連続関数fが存在する場合、ユリソーン空間と呼ばれます。ウリソーン空間は T _{2 1/2}を満たします。

空間は、そのコンパクト化された Stone-Cech への正規マップが単射的である場合には Urysohn です。

分離 T ₃ + (通常の空間)

位相_空間

空間は分離されずに T _{3 を}満たすことができることに注意してください。粗いトポロジーは T _{3 を}検証します。一方、 X がT ₃と T _{0 を}満たす場合、X は分離されます。

T _{3 を}満たす分離空間を通常空間と呼ぶ。

このような空間は T _{2 1/2}を満たしますが、必ずしも T _{2 3/4 を}満たすとは限りません。

分離 T _{3 1/2} + (完全に規則的な空間、またはティコノフ空間)

F上の位相_空間これは、「Xは標準化可能です」と同等です。

スペースは分離せずに標準化できることに注意してください。大まかなトポロジーは T _{3 1/2}を検証します。一方、 X がT _{3 1/2}および T _{0 を}満たす場合、X は分離されます。

T _{3 1/2}を満たす個別の空間は、完全に規則的であると認定されます (ティコノフ空間とも呼ばれます)。

Xがコンパクト空間Cの部分空間と同相である限り、空間X は完全に正則です。この場合、 C は、 Xの Stone-Cech 圧縮と同等のものを選択できます ( XからCへの標準マップが提供されます)。

したがって、完全に規則的な空間は規則的であるだけでなく、ユリソーンでもあります。

分離 T ₄ + (通常空間)

位相_{_{_{_{_空間}}}}

この公理は部分空間や積によっては保存されません。あるのは、 X がT _{4 を}満たす場合、 Xの任意の閉部分空間が T _{4 を}満たすことだけです。

この公理は、前述の公理のいずれも暗示しません。特に、空間は分離されずに T _{4 を}満たすことができます。粗いトポロジは T _{4 を}検証します。一方、スペースが T ₄と T _{1 を}満たす場合、スペースは分離されます。

T _{4 を}満たす分離空間をNormal と呼びます。

通常の空間では、閉じた素F ₁とF _{2 の}任意のペアについて、 F ₁では 0、 F ₂では 1 に相当するXの連続関数がセグメント [0,1] に存在します。この注目すべき性質は、ユリソーンの補題と呼ばれます。

特に、通常の空間は完全に規則的です。

コンパクトな位相空間は正常です。

_T5 +分離（完全に通常の空間）

位相空間X は、次のようなXのすべての部分AとBについて T ₅を満たします。

$$ {A\cap\overline{B}=\emptyset} $$

そして

$$ {B\cap\overline{A}=\emptyset} $$

の場合、2 つの素な開集合が存在し、一方にはA が含まれ、もう一方にはB が含まれます。

これは、 Xの任意の部分空間が T _{4 を}満たすことと同等です。

まず、関与。 X がT _{5 を}満たし、 Y がXの部分空間であるとします。次に、 Y はT ₅ (したがって T ₄ ) を検証します。実際、 Yのすべての部分AとBについて、部分空間YにおけるBの付着力 (その誘導トポロジーを考慮した場合) は次と等しくなります。
$$ {\overline{B}\cap Y} $$
、したがって、はAとは素です。
$$ {A\cap\overline{B}=\emptyset} $$
(同様に、 AとBの役割を交換します)。 Xに関する仮説により、そのような 2 つの部分AとB は、 Xの 2 つの互いに素な開いた端によって分離されます。これら 2 つのオープンスペースのY上のトレースは、 AとB を分離するYの 2 つの互いに素な開いた端になります。

次にその逆。 X を、その部分空間がすべて T _{4 を}満たす位相空間とする。 AとB が次のようなXの 2 つの部分であるとします。
$$ {A\cap\overline{B}=\emptyset} $$
そして
$$ {B\cap\overline{A}=\emptyset} $$
。ポーズをとる
$$ {Y=X\setminus (\overline{A}\cap\overline{B})} $$
。彼が来ます
$$ {A \subset \overline{A}\cap Y} $$
そして
$$ {B \subset \overline{B}\cap Y} $$
。金
$$ {\overline{A}\cap Y} $$
そして
$$ {\overline{B}\cap Y} $$
は素であり、 Y部分空間の 2 つの閉じた部分空間です (誘導トポロジーを備えています)。 Y がT _{4 を}満たすため、これらの閉じた空間を分離する 2 つの開いた空間O _A ∩ YとO _B ∩ Yが存在し、さらにAとB をさらに分離します。 Y自体がXの開集合であるため、集合O _A ∩ YおよびO _A ∩ YはXの開集合です。 X がT _{5 を}検証することになります。

T _{5 を}検証する別の空間は完全に正常と呼ばれます。

したがって、その空間のすべての部分空間が正規であれば、その空間は完全に正規です。

T _{5 1/2}分離 (完全に通常の空間)

独立した空間X は、閉じた空間であれば完全に正常であると言われます。

すべての計量可能空間は完全に正規です (閉じたときの距離関数をfとします)。

完全に正規の空間のどの部分空間も完全に正規のままです。

完全に正規の空間は正規です (したがって、部分空間の以前の安定性によれば、完全に正規です)。_より良い:このような空間のすべての素な閉じたF ₁_とF ₂に対して

$$ {\frac{|f_1|}{|f_1|+|f_2|}:X\to[0,1]} $$

は連続であり、 F ₁では正確に0、 F ₂では正確に1 に等しくなります。

元の定義(チェヒおよび同等のものによる) は次のとおりです: 空間が正規であり、その閉じた空間のそれぞれがG _δである場合、空間は完全に正規です。つまり、開いた空間の可算交差点 (この場合)

$$ {\bigcap_{n=1}^{+\infty}f^{-1}\left(\,\left]-1/n,1/n\right[\,\right)} $$

）。

注意してください: 文学では、語彙が非常に不安定な場合があり、これらの定義の一部は置き換えられる可能性があります。

分離公理 (トポロジー)について詳しく解説

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