コンパクト性 (数学)について詳しく解説

実線トポロジーでは、ボレル・ルベーグ特性は、オーバーラップの概念に基づいたセグメントの注目すべきトポロジー特性です。これは、一般的なトポロジーにおける公理として機能し、コンパクト空間の概念を定義し、セグメントに関するいくつかの結果を非常に一般的なフレームワークに拡張します。この公理に選ばれた名前は、フランスの数学者エミール・ボレルとアンリ・ルベーグに敬意を表しています。

ボレル・ルベーグの財産

事前の定義: E を集合、A を E の一部とする。家族と言う。

E の部分が和集合の場合に A を覆う Aが含まれています

線分のボレル・ルベーグ特性: 実線の線分[a,b]とします。オープンスペースによるこのセグメントの被覆から、有限のサブ被覆を抽出できます。つまり、どんな家庭でも

[a,b]をカバーする開集合の場合、次のような I の有限部分 J が存在します。 [a,b]をカバーします。

この性質の証明については、ハイネ・ボレルの定理とも呼ばれるボレル・ルベーグの定理を参照してください。

ボレル・ルベーグ特性は、実数の有界シーケンスの特性と密接に関連しています。実数の任意の有界シーケンスから、収束シーケンスを抽出できます。 2 つのプロパティ間のリンクは、次のセクションでより明確に示されます。

これらの特性のいずれかから、数値関数に関するいくつかの重要な結果を引き出すことが可能です。特に、連続アプリケーションによるセグメントの画像はセグメントであり、関数は一様に連続します (ハイネの定理)。

ボレル・ルベーグの公理とコンパクトの一般定義

位相空間E は、ボレル・ルベーグの公理を満たす場合、準コンパクトであると言われます。つまり、E の任意の開いた被覆から、有限の部分被覆を抽出できます。空間も区切られるとコンパクトになると言われます。

補数に渡すことにより、この最後のプロパティは次のプロパティと等価になります。

というような閉鎖的な家族です。 そうすると、有限ファミリを抽出できます。 、 と 、 のような 。または、逆に、すべての有限交差点がある場合、 閉じたファミリの要素が空でない場合、交差点は家族全員が空ではない。

注意: アングロサクソンの用語では、有限のサブカバーリングの特性のみが必要ですが、必ずしも分離は必要ありません。

特性: コンパクトかつ密閉型

別個の位相空間のコンパクトな部分はすべて閉じられます。

この性質を対比によって証明してみましょう。 Aを閉じていない空間とする。この場合、A に付着しているが A の要素ではない点b が存在します。これが当てはまらない場合、A はその付着に等しく、定義上閉じられています。 A の各点 a について、a を含む開いたO _aと b を含む開いたB _aが存在し、空間が分離されているため、それらの交点は空になります。 O _aのセットは A の開いたカバーを形成します。そして、抽出された有限のカバーは、関連するB _aの交差と一致しません。ここで、この有限交差は、b を含む開 (開の有限交差として定義されているため) です。セットに付着する点の近傍がこのセットに遭遇するため、A との空ではない交差部分があります。そしてAはコンパクトではありません。

注意: 周囲空間が分離されていない場合、これは一般的に誤りです。たとえば

大まかなトポロジを備えた 、 コンパクトですが密閉されていません。

コンパクトな空間の閉じた部分はすべてコンパクトです

C をコンパクト空間、 F をCの閉じた部分、および

Fのオープンカバー。追加すると開集合C − Fから、開カバーが得られます。 12月C はコンパクトなので、次のように抽出できます。 完成したカバーリング 12月としてはCのカバーであり、 Fのカバーでもあります。可能な集合C − Fとは別に、次のすべてのメンバーの建設メンバーによるものです 、 Fのオリジナルカバー。 F の被覆に寄与しないC − F を除去することにより、元の被覆から抽出されたFの有限被覆が得られます。 。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と逐次コンパクト性

(自動的に分離された) 計量空間のコンテキストでは、ボルツァーノ ワイエルシュトラスの定理は、 Kの要素の任意のシーケンスからKの要素に収束する部分列を抽出できる場合に限り、空間Kがコンパクトであると述べています。

このため、計量空間のコンテキストでは、コンパクト性の特性が逐次特性評価によって導入されることがよくあります。