トポロジ内
$$ {\mathbb{R}^n} $$
、ボレル・ルベーグ定理またはハイネ・ボレル定理は、ベクトルの集合Aの次の 2 つのプロパティ間の等価性を確立します。- Aは閉じていて有界です ( Aのすべての要素のノルムを増加させる正の定数が存在する場合、 Aは有界です)。
- A は、ボレル・ルベーグ特性を検証します。つまり、 Aを開放端で覆うことです。 $$ {\mathbb{R}^n} $$有限の秘密を抽出することができます。
この2 番目の特性は、実際にはトポロジーにおけるコンパクトの一般的な定義です。スペースは、分離されていてこの特性を備えている場合にのみコンパクトです。したがって、ボレル・ルベーグの定理は次のように解釈できます。
$$ {\mathbb{R}^n} $$
閉じて有界である場合に限り、コンパクトになります。この定理のため、多くの著者は次の圧縮を定義することを好みます。
$$ {\mathbb{R}^n} $$
ベクトルの閉じた有界セットのようなものです。この場合、定理は次のようになります。 $$ {\mathbb{R}^n} $$
ボレル・ルベーグ特性を持っている場合にのみコンパクトです。この定理は有限次元の実数ベクトル空間または複素数ベクトル空間に一般化できますが、無限次元では偽となります。
デモンストレーション
- の圧縮が成り立つことを示しましょう。 $$ {\mathbb{R}^n} $$閉じた有界です。別個の位相空間内のすべてのコンパクトは閉じており、すべてのコンパクトは距離空間内で境界付けされます。
- 有界で閉じたものがコンパクトであることを示しましょう。
これを行うには、次のセグメントが存在することを示しましょう。
$$ {\R} $$
コンパクトです。 F をセグメント[ a , b ]とし、 C をFの開いたカバーとします。次に、 [ a , x ] がCから抽出された有限の被覆を許容するようなFの点xの集合E を考えてみましょう。 Eには が含まれるため、空ではありません。 E はFの上限bだけ増加するため、上限cがあります。 EがFで開いているのは、 Eのすべての点x が、 x を含む有限被覆の開いた部分に含まれるxを含む開いた区間を近傍として認め、この区間が自然にEに含まれるからです。 Eの上限c は、 c を含むCのオープンが存在するため、 Eに含まれます。しかし、この開いたカバーと有限のカバーを結合すると、上限を含む新しい有限のサブカバーが形成されます。 Fの空でない閉じた開いたものはそれ自体だけであるため、 E はFと等しくなります。このプロパティはセグメントに対して示されます。に囲まれた閉じた
$$ {\mathbb{R}^n} $$
常にセグメント製品に含まれます。したがって、圧縮体の閉じた部分がコンパクトであることに注意するだけで十分です。