シーケンシャルのコンパクト性について詳しく解説

導入

コンパクト性は、オープン カバリングの概念から一般的なトポロジで定義される重要なトポロジ特性です。ただし、計量空間 (特に標準化されたベクトル空間を含む) のコンテキストでは、シーケンスの観点から特徴付けを行うことが可能です。後者に定義の役割を持たせるのが一般的です。このように提示されたコンパクト性の概念は、シーケンシャル コンパクト性と呼ばれます。

実数直線のセグメントのいくつかの特性はコンパクト空間に一般化され、これにより後者は数学のさまざまな分野で特権的な役割を果たします。特に、数値関数の極値の存在を証明するのに役立ちます。

直観的には、コンパクトなセットは、そこから「逃げる」ことができないという意味で「小さく」「閉じた」ものです。このセットから一連の点を形成する場合、その要素は互いに遠く離れて移動することができず、特定の値に集中します。コンパクト性プロパティにより、特定のプロパティをローカルからグローバルに移動することも可能になります。つまり、各点の近傍で成り立つ性質は、コンパクト全体で一律に有効となる。

この記事では、コンパクトという概念に対する進歩的なアプローチを提案します。それらは最初に実際の有限次元ベクトル空間の閉じた境界部分として提示され、次にフレームワークが逐次的な定義に基づいて拡張されます。 Borel-Lebesgue と呼ばれるカバー特性が最終的に取り上げられます。一般的なトポロジのコンテキストでコンパクトについて直接扱いたい読者は、コンパクト性 (数学) の記事を読むことができます。

最初のアプローチ: 有限次元の閉じた有界

実線、通常の平面、またはより一般的には、ノルムが与えられた有限次元の実ベクトル空間Eで作業する場合、コンパクトの暫定的な定義を取ることができますが、これは、一般的な定義と等価ではありません。この特定のコンテキスト。したがって、 Eのコンパクトな部分を部分Kと呼びます。

• 閉じた、つまり、極限まで通過することで安定します ( Kの極限で収束するKの点のシーケンス)
• および有界: K をボールに含めることができます。

有限次元では標準はすべて同等であるため、そのような定義は選択した標準に依存しません。

Eの閉じたボールはコンパクトの単純な例を構成しますが、コンパクトが「一体」である必要はありません (この概念の形式化については接続性を参照)。したがって、2 つの閉じた球の和集合は依然としてコンパクト、またはカントール集合でもあります。

極値の探索への応用

コンパクトさにより、連続関数の大域的な極値を示すことが可能になります。

定理

f が実数値を持つコンパクトK上で定義された連続関数の場合、 f(K)は実数直線のコンパクトです。特にf は有界であり、その限界に達します。

この定理の証明は次の 2 つの段落で行われます。いくつかの実装例でその威力を説明します。

例: フェルマー点の問題。

三角形ABC が与えられた場合、距離AM+BM+CMの合計が最小となる点M が存在することを証明するように求められます。まず、点A、B、Cから遠すぎるMを探しても無駄であることに気づきます。申請の検討は継続中

$$ {f:M\mapsto AM+BM+CM} $$

十分に大きな半径の閉じた円盤上では、大域的最小値が存在するという定理を適用できます。この観察は、明示的な構築の開始点として機能します。

例: 点から閉じた点までの距離

F をEの空でない閉じた部分、 x をEの点とする。これには、他のすべての点よりもxに近いFの点f が存在することを証明することが含まれます。繰り返しますが、 xから遠すぎるfを探しても意味がありません。したがって、コンパクトを構成するFと閉じたボールの交点に限定し、連続であるxへの距離関数を導入できます。

注：コンパクトの画像に関する定理は、「連続塗布によるセグメントの画像はセグメントである」という実際の解析定理を思い出させます。ただし、コンパクトは必ずしもセグメントではないため (正確には接続性の喚起が欠けているため)、これは真の一般化を構成しません。最後に、「継続的なアプリケーションによって閉じられたものの逆のイメージは閉じられたものである」というステートメントと混同しないでください。

ボルツァーノ ヴァイエルシュトラスの財産

K を閉じて有界とする。 Kの要素のシーケンスには、 Kの付着値、つまりKの点に向かって収束する部分シーケンスが認められます。

このステートメントには、かなり間違っていますが、 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理というタイトルが付けられることがあります。 「実際の」ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理については以下で説明します。

証明戦略は記事の境界シーケンスで説明されます。それは、最初に単調な特性を持つ実際のケースで作業し、次に一般的なケースに拡張することから構成されます。

コーシー基準に基づく別のデモンストレーション。

まず、特定のケース、つまりKが通常の平面内の単位長さのエッジを持つ正方形である場合を扱います。

したがって、 Kの要素(x _n )のシーケンスとします。正方形を 4 つの半辺の正方形に切断できます。数列の項は 4 つの領域に分布しており、4 つの領域の 1 つに必然的に無限数の項が存在し、これをK ₁と表します。 K _{1 を}エッジの 4 分の 1 の正方形に切断し、そのうちの 1 つであるK _{2 を}選択することによって、分割を再度開始します。これには、数列の無限の項が含まれます。したがって、帰納法によって、互いに含まれ、長さ 2 ^{– p}の辺を持つ正方形のシーケンス(K _p )を構築します。各正方形は、シーケンスの無限の項を含みます。

次に、次のようなインデックスn ₀を取得します。

$$ {x_{n_0}} $$

がK ₀にある場合、次のような厳密に大きいインデックスn ₁

$$ {x_{n_1}} $$

_K1などにあります。したがって、サブシーケンスを構築しました

$$ {y_p=x_{n_p}} $$

初期シーケンスの、すべてのpとq を満たすもの

$$ {\left|y_{p+q}-y_p\right|\leq 2^{-p}} $$

したがって、これはコーシー基準によって収束するシーケンスです。後者は閉じているため、その限界は正方形内に残ります。

一般化: このデモンストレーションは、単純に分割の個数を調整することで、3 次元の立方体、任意の次元のハイパーキューブに拡張できます。次に、このようなハイパーキューブに含まれる閉じた境界部分に拡張されます。

逆に、 Eの部分Kがボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの性質を満たす場合、それは閉じていて有界です。

デモンストレーション

この部分は閉じています。 Kの点列がlに向かって収束する場合、 Kに収束する部分列が認められますが、これもlに向かって収束するため、 l はK内にあります。

この部分は制限されており、制限がなければ、基準が無限大に向かう傾向のある一連の要素を構築することが可能です。サブシーケンスは発散します。

応用：コンパクトの像に関する定理の実証

ボルツァーノ・ワイエルシュトラス特性による成形体の特性評価により、連続適用による成形体の直接像に関する定理を証明することが可能になります。

デモンストレーション

f(K) がBolzano-Weierstrass 特性を満たすことを示すだけで十分です。 (y _n ) がf(K)の点のシーケンスであり、 y _n =f(x _n )である場合、シーケンス(x _n )はKのX要素に収束する部分シーケンスを許容します。連続性により、一連の画像はf(K)に属するf(X)に向かって収束します。

無限次元での反例

ベクトル空間を考えてみる

実係数を持つ多項式。多項式Pのノルムとして、その係数の絶対値の最大値を採用します。 B を閉じた単位ボールとします。これは明らかに閉じており、境界があります。ただし、^多項式の数列はまた、 Eに連続するマップf を構築することもできます。 、 f(X ⁿ )=nとなるため、有界ではありません。

無限次元のベクトル空間では、閉じた有界空間のすべてが、有限次元で観察されていた興味深い分析特性を享受できなくなります。