導入
この記事では、回転フレームにおける時空の幾何学について説明します。より具体的には、回転する円盤を考え、円盤の周縁に位置する観測者 O’ にとって時空の幾何学形状がどのような形をとるかを見ていきます。サニャック効果とエーレンフェストとセラーリのパラドックスの研究は、O’ の観点から考慮された空間の幾何学はユークリッドではありえないことを明らかに示しました。そして、詳細な計算により、回転系における時空の計量が得られました。より直観的な幾何学的分析も役立ちます。
慣性基準系は R で示されます。回転基準系は R’ で示されます。最後に、原点が O’ で、与えられた瞬間にこれと同じ速度を持つ慣性系を R1 と呼びます。明らかに、この基準 R1 は局所的に (O’ の近傍で) ごくわずかな時間だけ R’ と一致します。 O’ の速度は方向に変化するため、各瞬間で基準 R1 は異なります。したがって、ローレンツ変換などを使用して計算を実行するには、詳細な計算のように、無限小の間隔を処理し、積分する必要があります。
回転フレームにおける相対論的効果
回転する観測者によって時空がどのように認識されるかを理解するために、定性的なアプローチから始めましょう。円盤は平らなので、垂直方向の空間次元を省略して、時空を 3 次元で表現できます。空間は水平方向の 2 次元、時間は垂直方向の次元です。
円盤の端に沿って強制的に追従する光線の軌道は、円柱の周りの光型の螺旋、つまり水平に対して 45°傾斜した螺旋になります。円盤の端に位置する観測者 O’ の軌道も螺旋ですが、時間型です (光の速度に比べて低い速度で回転すると垂直に近くなります)。
円盤の周囲のみを考慮することによって、つまり、シート上に円柱を上に広げることによって、2 次元で作業することもできます。円周の「閉じた」性質により、特定のパックマン タイプのビデオゲームのように、軌道は右から「出て」、左から「入って」、その逆も同様です。コンパクトな空間で起こることと非常によく似ています。
世界線は直線です。回転する観察者 O’ の軌跡と光線 1 および 2 の交点がはっきりとわかります。慣性基準系 R の空間座標および時間座標の線は水平線と垂直線です。
回転座標系 R’ に関連付けられた時空座標系に注目してみましょう。上の図から、R’ での表現に進むことができます。いくつかのルールに従います。
- O’ の軌跡は時間型の座標線です (O’ は R’ 内で静止しています)。
- 光タイプの軌道は、時間と空間の座標線の二等分線です (光の速度は不変で、回転する基準系でも局所的に等方性です)。
- 光の軌跡と O’ の軌跡の交点には、上図と同じ時間差があります。
この図では、R’ の空間座標軸 (ローカルで回転する観察者によって同時として認識される一連のイベント) は、時間座標軸 (回転する基準系の同じ点で発生する一連のイベント) に対して傾いています。ただし、傾斜した軸を使用しても、時空の幾何学形状は変わりません (長方形ではなくひし形でグリッド化されたシートで作業することは、現実的な困難を伴う可能性がありますが、紙のシートは変更されません)。
立体図の話に戻りましょう。上の図の空間座標線を R’ に遠近法で描いてみましょう。
この図から 3 つの観察が可能になります。
- 局所的な同時性(回転する観察者に関連する同時性) の方向に接する磁力線は螺旋状です。
- 円周（空間線）に沿った回転中の時間ギャップΔ t は、光の速度が局所的に等方性であるが、一方で回転基準系では全体的に等方性ではないという事実を反映しています。回転する円盤上の点を離れて同じ点に戻るには、光が円盤と逆方向に回転する場合よりも、同じ方向に回転する場合の方が時間がかかります。
- 回転する観測者によって知覚される局所的な同時性に関する大域的な同期面は連続的ではありません（局所的な回転観測者が光速の異方性を局所的に知覚せず、全体的に観測するという事実を反映して同時性がジャンプします）。これを次の図に示します。
回転座標系でグローバルに観察される相対論的効果と慣性座標系で観察される相対論的効果の間の対称性は尊重されません。回転観測者のメーターのローレンツ収縮の対称性の不遵守 (回転基準系の負の空間曲率)、回転観測者の時計に関連するローレンツ時間膨張の対称性の不遵守が観察されます。観測者 (ランジュバンのパラドックス)、回転する観測者によってグローバルに測定できる光の相対速度の異方性 (サニャック効果)。
同期を理解すること、そしてより一般的には回転運動によって引き起こされる相対論的効果の非対称性の大域的に観察可能な性質を理解することの難しさは、局所的対称性と大域的対称性の間の頻繁な混同を明確に示しています。
ミンコフスキー時空では、特殊相対性理論の自然な同期が各慣性系に関連付けられています。それは、同時の 3D レイヤーで時空を飛び回る可能性を与えます。慣性座標系ではない座標系を使用する場合、ミンコフスキー時空であっても、グローバル同時性の 3D シート内で、ローカル同時性の超平面に接する葉状構造の存在は常に可能であるとは限りません。
